Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка

И.А. Давыдов , Е.А. Тонконог

Линейное однородное дифференциальное уравнение(ЛОДУ) второго порядка имеет вид (1)

Где p(x) и q(x) известные непрерывные функции ,

y(x) , у’(x) ,y’’(x)- искомая функция и её производные .

Уравнение (1) можно записать в виде

Если в управлении (1) сделать замену

то мы имеем нормальную форму управления(1) (4)

где

(5)

Найдем частное решение дифференциального уравнения (4).Для этого проинтегрируем уравнение(4) по переменной x

(6)

где

Интеграл в левой части равенства (6)проинтегрируем по частям бесконечное число раз , принимая во внимание , что

(7)

Тогда уравнение (6) принимает вид

(2k-1)раза

(8)

2k раза

2k раза (9)

Введем обозначения (10)

(11)

(2k-1)раза

Тогда уравнение(9)запишем в виде

(12)

Из формул (10) и (11) следует; что

(13)

И уравнение (12) можно записать (14)

Интегрируя дифференциальное уравнение (14) , получим (15)

Из формулы (15) следует ,что фундаментальная система решений Л.О.Д:У.(4) имеет вид (16)

А решения уравнения (1)

(17)

Рассмотрим примеры.

Пример 1

Найти частные решения дифференциального уравнения

Тогда

Если то нормальная форма дифференциального уравнения

Это уравнение с постоянными коэффициентами и частные решение

По формуле (10)

2k раза

+

Но тогда

.

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения

2k раза

2k раза

m≠-1 , m≠-2 , m≠-2+ .

К рассматриваемому дифференциальному уравнению приводится специальное уравнение Риккати.

Пример 3.

Найти частные решения дифференциального уравнения

Нормальная форма дифференциального уравнения

2k раза

=

при

Тогда

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения

Нормальная форма дифференциального уравнения

2k раза

Нахождение частного решения дифференциального уравнения в нормальной форме в некоторых примерах приводит к громозким вычислениям.

Поэтому найдем частное решение Л.О.Д.У. второго порядка (2) , которое проинтегрируем по переменной x.

(18)

Интеграл в левой части равенства (18) проинтегрируем по частям бесконечное число раз , принимая во внимание , что

Тогда уравнение (18) принимает вид

*

*

(2k-1)раза

В равенстве (20) сгруппируем члены , содержащие

Получим ]+

2k раза

+

(2k-1)раза

Введем обозначения

2k раза

(2k-1)раза

Тогда уравнение (21) запишем в виде

Здесь

Вронскиан фундаментальной системы решений Л.О.Д.У. (1).

Из формул (22) и (23) следует , что

И уравнение (24) можно записать

=

Интегрируя уравнение (27) , получим

Из формулы (28) следует , что фундаментальная система решений Л.О.Д.У. (1) или (2) имеет вид

Рассмотрим примеры

Пример 5

Найти частные решения дифференциального уравнения

=1- …

2k раза

Пример 6

Найти частное решение дифференциального уравнения Бесселя нулевого порядка

Пример 7

Найти частное решение дифференциального уравнения Бесселя n-го порядка

Сделаем замену

Тогда имеем

Здесь

Решение представим в виде

2k раза +

Тогда

Здесь

.

Но так как

Пример 8

Найти частные решения дифференциального уравнения Чебышева.

Поиск по сайту: