Применение способа секущих плоскостей

Пример 1. Построить проекции линии пересечения двух заданных поверхностей – наклонного и прямого цилиндра (Рисунок 1.8).

Так как одна поверхность (прямой цилиндр) горизонтально-проецирующая, то горизонтальная проекция линии пересечения будет совпадать с горизонтальной проекцией цилиндра. Поэтому решение сводится к построению только фронтальной проекции линии пересечения, которая имеет два участка.

Построение фронтальных проекций участков линии пересечения следует начинать с определения характерных точек: высшие А и А^/, низшие В и В^/ (в данном случае они являются также границами видимой части линии пересечения), ближние С и С^/ и, дальних D и D^/.

1. Построение высших А и А^/, низших точек В и В^/, ближних С и С^/ и дальних D и D^/.

Для нахождения высших А и А^/, низших точек В и В^/ проводим плоскость Δ, параллельную фронтальной плоскости проекций П₂ (она задана горизонтальным следом Δ₁) (Рисунок 1.9). Плоскость Δ пересекает прямой цилиндр по образующим 1 и 2, а наклонный цилиндр – по образующим 3 и 4. Пересечения фронтальных проекций 1 и 2, 3 и 4 указывают положение фронтальных проекций точек А₂, А^/₂, В₂, В^/₂ (А₂ =1₂∩3₂, А^/₂ =2₂∩3₂, В₂ =1₂∩4₂, В^/₂ =2₂∩4₂).

Для нахождения ближних точек С и С^/ проводим плоскость Z, параллельную фронтальной плоскости П₂ (она задана горизонтальным следом Z₁) (рисунок 1.10). Плоскость Z пересекает прямой цилиндр по образующим 5 и 6, а наклонный цилиндр – по образующей 7. Пересечения фронтальных проекций 5,6 и 7 указывают положение фронтальных проекций точек С₂, С^/₂ (С₂ =5₂∩7₂, С^/₂ =6₂∩7₂).

Рисунок 1.8 – Чертеж к примеру 1 выполнению задания 1.3

Рисунок 1.9 – Построение высших А и А^/, низших точек В и В^/

Рисунок 1.10 – Построение ближних точек С и С^/

2. Построение промежуточных точек E, E^/, F₂, F^/₂.

Для нахождения промежуточных точек E, E^/, F₂, F^/₂ проводим плоскость Λ, также параллельная фронтальной плоскости проекций (Рисунок 1.12). Эта плоскость пересекает прямой цилиндр по прямым 11 и 12, а наклонный цилиндр – по прямым 13 и14. Пересечения фронтальных проекций 11,12 и 13,14 указывают положение фронтальных проекций точек E₂, E^/₂, F₂, F^/₂ (E₂ =11₂∩13₂, E^/₂ =12₂∩13₂, F₂ =11₂∩14₂, F^/₂ =12₂∩14₂).

3. Соединим одноименные проекции этих точек плавными линиями по лекалу, предварительно установив видимые и невидимые ее части. Затем контурные линии поверхностей обводят сплошной основной линией, сохраняя линии построения в тонких линиях (рисунок 1.13).

Рисунок 1.11 – Построение дальних точек D и D^/

Рисунок 1.12 – Построение промежуточных точек E, E^/, F₂, F^/₂

Рисунок 1.13 – Результат построения проекций линии пересечения поверхностей (к примеру 1)

В этом случае ни одна из проекций ни одного из данных поверхностей не совпадает полностью или частично с проекциями искомой линии пересечения. Мы не можем исходить из того, что положение проекций ее точек нам известно. Поэтому здесь используется общий прием построения точек взаимного пересечения поверхностей, а именно введение вспомогательных секущих плоскостей, пересекающих каждую из заданных поверхностей по заданным линиям, и определение точек, общих для этих поверхностей, в пересечении линий, полученных на них.

1. Построение высшей А и низшей В точек. Для нахождения высшей А и низшей В точек введем общую плоскость симметрии Р: она проходит через ось конуса и через центр сферы С. Плоскость Р пересекает поверхность конуса по образующим (S1), а поверхность сферы по окружности. Повернув плоскость Р вместе с полученными в ней линиями вокруг оси конуса до положения, параллельного с плоскостью проекций П₂, получим точки А^/₂ и В^/₂, а по ним сначала А₂ и В₂, затем А₁ и В₁ (Рисунок 1.15).

2. Построение очерковых точек D и D^/. Для нахождения очерковых точек D и D^/ через ось конуса введем вспомогательную плоскость Т. Она пересекает конус по главному меридиану и сферу по окружности радиуса С₂2₂ (рисунок 1.16).

3. Построение точек Е,F на экваторе сферы. Для построения точек Е,F на экваторе сферы вводим горизонтальную секущую плоскость Ф. Она пересекает конус по окружности радиуса S₁3₁. Пересечения экватора (окружности радиуса С₁4₁) с окружностью радиуса S₁3₁ указывают положение горизонтальных проекций точек Е₁,F₁ (рисунок 1.17).

4. Построение промежуточных точек G,H,K,L,M,N. Для построения промежуточных точек вводим секущие плоскости, параллельные фронтальной плоскости проекций П₂ (рисунок 1.18). Каждая такая плоскость пересекает поверхности конуса и сферы по окружностям.

Плоскость Х пересекает конус по окружности с радиусом S₁5₁, а сферу – по окружности радиуса С₁6₁. Пересечение указанных окружностей указывает положение точек G,H.

Плоскость Y пересекает конус по окружности с радиусом S₁7₁, а сферу – по окружности радиуса С₁8₁. Пересечение указанных окружностей указывает положение точек K,L.

Плоскость О пересекает конус по окружности с радиусом S₁9₁, а сферу – по окружности радиуса С₁10₁. Пересечение указанных окружностей указывает положение точек M,N.

5. Соединим одноименные проекции этих точек плавными кривыми (рисунок 1.19).

Рисунок 1.14 –Чертеж к примеру 2 выполнения задания 1.3

Рисунок 1.15 – Построение высшей А и низшей В точек

Рисунок 1.16 – Построение очерковых точек D и D^/

Рисунок 1.17 – Построение точек Е,F на экваторе сферы

Рисунок 1.18 – Построение промежуточных точек G,H,K,L,M,N

Рисунок 1.19 – Результат построения проекций линии пересечения поверхностей (к примеру 2)

Пример 3. Определить линию пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями (Рисунок 1.20).

Решение. Построение линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения начинают с построения опорных (очерковых) точек. Этими точками являются точки A, B, C, D пересечения очерковых образующих заданных поверхностей. Точку пересечения фронтальных проекций осей поверхностей вращения О₂ принимаем за центр концентрических сфер. Сферическая поверхность, имеющая центр в точке О₂, пересекает каждую из заданных поверхностей вращения по окружности, которые изображаются на фронтальной проекции как отрезки, перпендикулярные осям соответствующих поверхностей (рисунок 1.21). Для определения интервала, в пределах которого следует брать значение величин радиусов сферических поверхностей, а также для определения характерных точек, принадлежащих линии пересечения, проводим вспомогательную сферу Ф, касательную к одной поверхности и пересекающую вторую. Радиус этой сферической поверхности укажет минимальное значение радиуса сферической поверхности. Полученные с помощью этой секущей сферы точки E,E^/ и F,F^/ являются крайними левыми (правыми) точками линии пересечения. Положение этих точек определяется пересечением окружностей 1₂3₂ и 5₂6₂, 2₂,4₂, и 5₂6₂ (E,E^/=1₂3₂∩5₂6₂; F,F^/=2₂,4₂∩5₂6₂), по которым секущая сфера Ф с минимальным радиусом пересекает заданные поверхности вращения. Зная положение фронтальных проекций точек E,E^/ и F,F^/, находим их горизонтальные проекции. Расстояние от точки О₂ до наиболее удаленной точки В₂ – пересечения очерковых образующих линий заданных поверхностей – укажет величину максимального радиуса секущей сферы Ф^// R_max. Для определения промежуточных точек линии пересечения заданных поверхностей вращения проводим сферы радиусами R_min < R < R_max.

На рисунке 1.22 показано построение точек G₂,G^/₂ и H₂,H^/₂, с помощью сферы Ф^/. Отрезки 7₂9₂, 8₂10₂ являются проекциями окружностей, по которым сфера Ф^/ пересекается с поверхностью конуса. Отрезок 11₂,12₂ представляет фронтальную проекцию окружности, по которой сфера Ф^/ пересекается с поверхностью усеченного конуса. Пресечения отрезков 7₂9₂, 8₂10₂ укажут положение точек G₂,G^/₂ иH₂,H^/₂ (H₂,H^/₂=7₂9₂∩11₂,12₂, G₂,G^/₂=8₂10₂∩11₂,12₂). Зная положение фронтальных проекций точек G₂,G^/₂ и H₂,H^/₂, находим их горизонтальные проекции.

Соединив одноименные проекции точек плавными кривыми, получим проекции линии пересечения двух поверхностей вращения (Рисунок 1.22).

Рисунок 1.20 – Чертеж к примеру 3 выполнения задания 1.3

Рисунок 1.21 – Результат построения очерковых A, B, C, D и промежуточных точек E,E^/ и F,F^/

Рисунок 1.22 – Результат построения построение точек G₂,G^/₂ и H₂,H^/₂ и проекций линии пересечения двух поверхностей вращения способом секущих сфер

Таблица 1.4 – Варианты задания 1.3 (эпюра 2)

Продолжение таблицы 1.4

Продолжение таблицы 1.4

Продолжение таблицы 1.4

Продолжение таблицы 1.4

Поиск по сайту: