Легко видеть, что все возможные комбинации для двух факторов, варьируемых на двух уровнях, будут исчерпаны, если мы поставим четыре опыта так, как это показано в табл. 3. Эта таблица называется матрицей планирования. В первом столбце таблицы приведены значения фиктивной переменной x0 = 1; во втором и третьем столбцах – значения переменных х1и x2(эти два столбца образуют собственно планирование); в четвертом столбце записано значение произведения ; наконец, пятый столбец не относится непосредственно к матрице планирования – это вектор значений результатов наблюдений. Первая строка таблицы соответствует первому опыту, в котором обе независимые переменные х1и х2находятся на нижнем уровне. Во втором опыте первая независимая переменная х1находится на верхнем уровне, вторая х2– на нижнем, и т. д.
Пользуясь таким планированием, можно вычислить коэффициенты регрессии неполного квадратного уравнения:
в этом случае число опытов будет равно числу оцениваемых параметров – у нас не останется степеней свободы для проверки нуль-гипотезы об адекватном представлении результатов эксперимента выбранной математической моделью. Если есть основания полагать, что изучаемый процесс в заданном интервале варьирования переменных может быть описан линейной моделью, то можно воспользоваться методом наименьших квадратов для определения трех коэффициентов регрессии – одна степень свободы останется для проверки гипотезы адекватности.
Перейдем к рассмотрению экспериментов с тремя независимыми переменными , варьируемыми также только на двух уровнях. Чтобы исчерпать все возможные комбинации трех факторов, варьируемых на двух уровнях, нужно поставить восемь опытов, планируя эксперимент так, как это показано в табл. 4.
Здесь введены два дополнительных упрощения в системе обозначений: символы + 1 и – 1 обозначены просто знаками « + » и « – » и добавлен новый столбец с условными обозначениями строк с помощью малых латинских букв и одной цифры. Буквы а, b, с обозначают, что в соответствующих строчках на уровне + 1 был только один из факторов x1, х2, x3; произведение двух букв ab, bc, ... обозначает, что в соответствующих строчках на верхних уровнях было два фактора: произведение трех букв abc указывает на то, что на верхнем уровне были все три фактора; наконец, символ (1) означает, что все факторы были на нижних уровня х. С помощью такого кодового обозначения матрица планирования, представленная в табл. 2, может быть записана одной строкой:
Аналогичным образом, матрица планирования для табл. 3. запишется строкой: