Свойства неопределенных интегралов

Глава 4. Основы интегрального исчисления

Интегральное исчисление возникло из потребности создать общий метод разыскания площадей, объемов и центров тяжести. В зародышевой форме такой метод применялся еще Архимедом. Систематическое развитие интегрального исчисления было получено в 17-м веке, в тесной связи с возникшим тогда же дифференциальным исчислением. Символ интеграла (рис.55) введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма).

Рис.55.

Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования "восстанавливает" функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное:

слово integer означает целый. В ходе переписки Бернулли и Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же, в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.
Другие известные термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее "примитивная функция", которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как "начальный": F(x) - начальная (или первоначальная, или первообразная) для функции f(x), которая получается из F(x) дифференцированием. В современной литературе множество всех первообразных для функции f(x) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную. Название и обозначение определенного интеграла ввел К. Фурье (1768-1830 г.г.), но пределы интегрирования указывал уже Эйлер.

Понятие первообразной и неопределенного

Интеграла

При изучении дифференцирования функций, ставилась задача - по данной функции найти ее производную или дифференциал.

Например, если закон движения какого-либо тела задан уравнением вида

,

где t — время, а S — пройденный телом путь, то дифференцирова­нием функции мы находим мгновенную скорость

этого движения в данный момент времени. Однако в механике гораздо чаще приходится встречаться с обратной задачей: для любого момента времени t дана скорость тела ; требуется найти закон движения тела, т. е. зависимость пройденного им пути от времени. Как мы можем подойти к решению этой задачи и многих других, которые приводят к постановке обратной задачи - для данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная или дифференциал которой равны соответственно f(x) или f(x)dx? Дадим определение функции F(x).

►Функция F(x) называется первообразнойпо отношению к функции f(x)

на некотором множестве X, если на этом множестве функция F(x)

дифференцируема и удовлетворяет уравнению

F¢(x) = f(x)

или,

dF(x) = f(x)dx.

Так, например, функция – первообразная на любом промежутке по отношению к функции , так как . Аналогично из тождества следует, что функция является первообразной по отношению к функции .

Таким образом, основываясь на знании таблицы производных основных элементарных функций можно составить таблицу.

Таблица базовых первообразных.

Таблица№3

Тип функции	Функция	Первообразная
Степенная	, кроме
Показательная
	, при
Логарифмическая
Тригонометрическая
Обратно - тригонометрическая

Легко проверить, используя правила дифференцирования, что наличие одной первообразной обеспечивает наличие таких функций в бесконечном множестве.

Теорема 1.Если и – две первообразные для функции на

данном множестве, то они могут отличаться лишь на посто-

янную, т.е. , где C – постоянная.

Доказательство:

Положим .

, следовательно .

Действительно .

На вопрос, как найти все первообразные данной функции, если известна одна из них, дает ответ следующая теорема.

Теорема 2 (о первообразных).

Если F(x) - одна из первообразных функции f(x) на

заданном множестве, то все ее первообразные имеют вид

F(x) + С, где С– произвольная постоянная.

Геометрически y = F(x) + C означает, что график любой первообразной функции получается из графика функции y = F(x) простым сдвигом его параллельно оси ОУ на величину С (см. рисунок 56). График первообразной от функции f (x) называется интегральной кривой этой функции, поэтому

неопределенный интеграл геометрически представляется множеством всех

интегральных кривых, получаемых при непрерывном параллельном движении одной из них по вертикали.

Рис.56.

В связи с тем, что одна и та же функция f(x) имеет бесконечно много первообразных, возникает проблема выбора первообразной, которая решает ту или иную практическую задачу.

Пример 1. Найти первообразные для функции , проходящие через точки М(2;4) и М(0;3). Сделать рисунок.

Решение. Множество всех первообразных функции есть , зная, что первообразная проходит через точку М(2;4), подставим ее координаты в предыдущее выражение и найдем С.

4=2+6+С С .

Искомой первообразной является функция , геометрически она собой представляет параболу .

Аналогично через точку М(0; 3) проходит парабола .

Графически это изображено на рисунке 57.

Рис. 57.

► Совокупность всех первообразных для функции f(x), то есть выраже-

ние F(x) + C, где С – произвольная постоянная, называется неопреде-

ленным интегралом и обозначается

,

Теорема 3 (о существовании неопределенного интеграла)

Если функция непрерывна на данном множестве,то

существует первообразная, а значит,иинтеграл .

· Знак называется знаком неопределенного интеграла;

· Функция f(x) называется подынтегральной;

Свойства неопределенных интегралов

Свойство 1. , т. е. производная от неопределенного

интеграла равна подынтегральной функции.

Пример:

Свойство 2. , т. е. дифференциал от неопределенного

интеграла равен подынтегральному выражению.

Пример:

Свойство 3. .

Пример:

Свойство 4. .

Пример:

Свойство 5. (аддитивности) .

Пример:

Свойство 6. (линейности) .

Пример:

Свойство 7.Если , то .

Первые три свойства вытекают из определения неопределенного интеграла.

Для доказательства свойств 6 и 7 можно продифференцировать левые и правые части по х и использовать свойство 1 неопределенных интегралов и свойства производных.

Доказательство свойства 6.

.

.

Доказательство свойства 7.

.

.

Пример 3. Найти неопределенные интегралы:

а) б)

Решение. Используя свойства 5, 6 и 7, находим:

а)

б)

Таблица основных неопределенных интегралов

Используя таблицу базовых первообразных и на основании второго свойства неопределенного интеграла получим: если dF (x) = f (x)dx , то

∫ f (x)dx = F (x) + C .

Например, поскольку d (sin x) = cos xdx , то ∫cos xdx = sin x + C . Применяя аналогичное рассуждение к каждой из формул таблицы дифференциалов, получаем следующую таблицу простейших неопределенных интегралов, которая в высшей математике играет такую же роль, как таблица умножения в арифметике.

Таблица основных неопределенных интегралов

Таблица №4

Тип функции	Неопределенный интеграл	Частные случаи
Степенные		(при - формула 1 настоящей таблицы);
Логарифмические
Показательные
Тригонометрические
Обратно- тригонометрические

Замечание.В таблице основных интегралов предполагалось, что x

является независимой переменной. Однако формулы этой таблицы остаются

справедливыми и в случае, когда , где – любая

дифференцируемая функция новой переменной t.

Теорема 4. (Об инвариантности формул интегрирования.)

Пусть – какая-либо известная формула

интегрирования и – любая функция, имеющая непре-

рывную производную. Тогда .

Доказательство:

Из того, что следует , следует .

Возьмем теперь функцию F (u) = ; для ее дифференциала,

в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциала функции,

имеем отсюда

Итак, в силу доказанной теоремы, из справедливости формулы

∫ f (x)dx = F (x) + C, следует справедливость формулы ∫ f (u)du = F (u) + C ,

которая получается из первой формальной заменой x на u .

Таким образом, получаем обобщенную таблицу интегралов. Например,

будут справедливы формулы:

1. ;

2. ;

3. и т.д.

Многие интегралы, предварительно преобразовав подынтегральное выражение, удается привести именно к такому табличному виду.

Так, например,

, согласно третьей формулы.

Поиск по сайту: