Рассмотренные методы могут быть использованы также для решения систем дифференциальных уравнений первого порядка.
Покажем это для случая системы двух уравнений первого порядка:
Явный метод Эйлера:
Модифицированный метод Эйлера:
Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности:
К решению систем уравнений ОДУ сводятся также задачи Коши для уравнений высших порядков. Например, рассмотрим задачу Коши для уравнения второго порядка
Введем вторую неизвестную функцию . Тогда задача Коши заменяется следующей:
Т.е. в терминах предыдущей задачи: .
Пример. Найти решение задачи Коши:
на отрезке [0,1].
Точное решение:
Действительно:
Решим задачу явным методом Эйлера, модифицированным методом Эйлера и Рунге – Кутта с шагом h=0.2.
Введем функцию .
Тогда получим следующую задачу Коши для системы двух ОДУ первого порядка:
Явный метод Эйлера:
Модифицированный метод Эйлера:
Метод Рунге – Кутта:
Схема Эйлера:
X
y
z
y теор
z теор
y-y теор
0.2
-0.2
0.983685
-0.14622
0.016315
0.4
0.96
-0.28
0.947216
-0.20658
0.012784
0.6
0.904
-0.28
0.905009
-0.20739
0.001009
0.8
0.848
-0.2288
0.866913
-0.16826
0.018913
0.80224
-0.14688
0.839397
-0.10364
0.037157
Модифицированный метод Эйлера:
X
ycv
zcv
y
z
y теор
z теор
y-y теор
0.2
-0.2
-0.18
0.983685
-0.14622
0.016315
0.4
0.96
-0.28
0.962
-0.244
0.947216
-0.20658
0.014784
0.6
0.904
-0.28
0.9096
-0.2314
0.905009
-0.20739
0.004591
0.8
0.848
-0.2288
0.85846
-0.17048
0.866913
-0.16826
0.008453
0.80224
-0.14688
0.818532
-0.08127
0.839397
-0.10364
0.020865
Схема Рунге - Кутта:
x
Y
z
k1
l1
k2
l2
k3
l3
k4
l4
-1
-0.1
-0.7
-0.07
-0.75
-0.15
-0.486
0.2
0.983667
-0.1462
-0.1462
-0.49127
-0.19533
-0.27839
-0.17404
-0.31606
-0.20941
-0.13004
0.4
0.947189
-0.20654
-0.20654
-0.13411
-0.21995
0.013367
-0.2052
-0.01479
-0.2095
0.112847
0.6
0.904977
-0.20734
-0.20734
0.10971
-0.19637
0.208502
-0.18649
0.187647
-0.16981
0.27195
0.8
0.866881
-0.16821
-0.16821
0.269542
-0.14126
0.332455
-0.13497
0.317177
-0.10478
0.369665
0.839366
-0.1036
-0.1036
0.367825
-0.06681
0.40462
-0.06313
0.393583
-0.02488
0.423019
Max(y-y теор)=4*10-5
Метод конечных разностей решения краевых задач для ОДУ
Постановка задачи: найти решение линейного дифференциального уравнения
, (1)
удовлетворяющего краевым условиям:. (2)
Теорема. Пусть . Тогда существует единственное решение поставленной задачи.
К данной задаче сводится, например, задача об определении прогибов балки, которая на концах опирается шарнирно.
Основные этапы метода конечных разностей:
1) область непрерывного изменения аргумента ([a,b]) заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами: .
2) Искомая функция непрерывного аргумента x, приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке, т.е. . Функция называется сеточной.
3) Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. Такая замена называется разностной аппроксимацией.
Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки, которые находятся из решения алгебраических уравнений.