Область определения функции, в которой есть дробь

Итак, нам надо найти все допустимые значения икса для какой-то конкретной функции. Самый широкий набор значений, как правило - это все действительные числа. От -∞ до+∞. Перебирать все возможные числа мы не будем, да...) В математике поступают по-другому. Работаем в два этапа.

На первом этапе ищем в функции операции, которые могут оказаться недопустимыми при каких-то значениях икса. Т.е. ищем потенциально опасные операции.

На втором этапе определяем иксы, которые не приводят к запретному действию в этих самых операциях. Это и будет область определения функции.

Если эти этапы не очень понятны, читаем дальше, на примерах всё куда яснее будет.

Что такое потенциально опасные операции? Это операции, в которых существуют принципиальные ограничения. Не пугайтесь, таких операций всего ничего и вы их прекрасно знаете). Перечисляю:

До 9-го класса включительно:

1. Деление. Нельзя делить на ноль.

2. Извлечение корня. Нельзя извлекать корни чётной степени из отрицательных чисел.

В выпускных классах и ВУЗах:

3. Логарифмы. Ограничения в логарифмах: если log_ab = c, то а>0, a≠1, b>0.

4. Тригонометрия. Ограничения в тригонометрии: значения углов, для которых тангенс и котангенс не существуют, ограничения на выражения под знаком арксинуса, арккосинуса.

Предположим, дана функция, содержащая некоторую дробь . Как вы знаете, на ноль делить нельзя: , поэтому те значения «икс», которые обращают знаменатель в ноль – не входят в область определения данной функции.

Не буду останавливаться на самых простых функциях вроде и т.п., поскольку все прекрасно видят точки, которые не входят в их области определения. Рассмотрим более содержательные дроби:

Пример 1

Найти область определения функции

Решение: в числителе ничего особенного нет, а вот знаменатель должен быть ненулевым. Давайте приравняем его к нулю и попытаемся найти «плохие» точки:

Полученное уравнение имеет два корня: . Данные значения не входят в область определения функции. Действительно, подставьте или в функцию и вы увидите, что знаменатель обращается в ноль.

Ответ: область определения:

Запись читается так: «область определения – все действительные числа за исключением множества, состоящего из значений ». Напоминаю, что значок обратного слеша в математике обозначает логическое вычитание, а фигурные скобки – множество. Ответ можно равносильно записать в виде объединения трёх интервалов:
.

Пример 3

Найти область определения функции

Решение: попытаемся найти точки, в которых знаменатель обращается в ноль. Для этого решим квадратное уравнение:

Дискриминант получился отрицательным, а значит, действительных корней нет, и наша функция определена на всей числовой оси.

Ответ: область определения:

Определение.

Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения .

Пример.

Определите множество значений функции на интервале (-2; 2).

Решение.

Найдем точки экстремума функции, попадающие на промежуток (-2; 2):

Точка x = 0 является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус при переходе через нее, а график функции от возрастания переходит к убыванию.

есть соответствующий максимум функции.

Выясним поведение функции при x стремящемся к -2 справа и при xстремящемся к 2 слева, то есть, найдем односторонние пределы:

Что мы получили: при изменении аргумента от -2 к нулю значения функции возрастают от минус бесконечности до минус одной четвертой (максимума функции при x = 0), при изменении аргумента от нуля к 2 значения функции убывают к минус бесконечности. Таким образом, множество значений функции на интервале (-2; 2) есть .

Как найти область значения функции y=3x(квадрат)-6x +1

1 способ.

Найдем x0. x0=-b/(2a)=-(-6)/(2*3)=1

Найдем значение y при x=1.

y=3*1^2-6*1+1=3-6+1=-2.

Т.к. y=3x^2-6x+1 - это парабола, ветви направлены вверх, то область значений: [-2;+бесконечности)

2 способ.

Найдем производную функции. y'=6x-6. Приравним производную функции к нулю.

6x-6=0. Найдем точки экстремума. 6x=6, x=1. Т.к. y=3x^2-6x+1 - это парабола, ветви направлены вверх, то x=1- это точка минимума. Найдем значение функции наданной точке. y=3*1^2-6*1+1=3-6+1=-2. Т.к. y=3x^2-6x+1 - это парабола, ветви направлены вверх, то область значений: [-2;+бесконечности)

P.S. Если вы ещё не прошли производную, воспользуйтесь первым способом.

Поиск по сайту: