Векторы в трёхмерной декартовой системе координат

Векторы на координатной плоскости.

Принадлежность какой-либо величины к векторным устанавливается опытным путём по тому, подчиняется ли эта величина правилу сложения векторов.

Правила сложения и вычитания векторов вы должны были изучать в восьмом классе по геометрии. Освежим в памяти эти правила.

Правило сложения векторов.

Чтобы получить сумму векторов и , нужно совместить начало вектора с концом вектора и соединить начало вектора с концом вектора направленным отрезком , который и будет равен геометрической сумме векторов и .

Векторы и называются слагаемыми векторами, вектор – геометрической суммой или результирующим вектором.

При сложении векторов выполняется переместительное свойство сложения: .

Правило многоугольника для сложения векторов.

При сложении нескольких векторов, их следует расположить так, чтобы начало каждого следующего слагаемого вектора совпадало с концом предыдущего. Суммой векторов будет вектор, проведённый из начала первого к концу последнего из них.

Разность векторов.

Разность векторов и можно найти, отложив оба вектора и из общего начала и соединив конец вектора с концом вектора . Полученный вектор будет вектором .

Правило параллелограмма.

Исходящая из общего начала векторов и , диагональ параллелограмма, построенного на векторах и , даёт их сумму. Другая диагональ этого параллелограмма будет их разностью.

Умножение вектора на скаляр.

Векторы можно не только складывать и вычитать между собой, но и умножать на скаляр, то есть на величину, характеризующуюся только числовым значением.

Умножив вектор на величину , получим вектор , параллельный исходному, но имеющий длину в раз отличающуюся от длины вектора . .

Модуль (или длину) вектора обозначают той же буквой, что и сам вектор, но без стрелки.

Векторы в трёхмерной декартовой системе координат.

Вектор может располагаться не только на плоскости, но и в пространстве. Тогда у точек его начала и конца будет по три координаты, в соответствии с названиями координатных осей: .

Векторы единичной длины, задающие направления осей декартовой системы координат называются орты и обозначаются соответственно .

Пользуясь правилом сложения векторов и умножения вектора на скаляр, любой вектор можно представить в виде суммы векторов: , где

– проекции вектора на координатные оси, называемые составляющими (или компонентами) вектора .

Длина вектора равна диагонали прямоугольного параллелепипеда, стороны которого равны модулям его проекций на координатные оси. По теореме Пифагора:

Если два вектора равны между собой, то их проекции также равны между собой.

Если все соответствующие проекции векторов равны, то эти вектора равны между собой.

Если , то , и .

Проекция геометрической суммы нескольких векторов равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов, то есть, если , то , и .

Поиск по сайту: