Ввиду того, что пределы слева и справа в точке не совпадают, искомого предела не существует.
.
Здесь учтено, что .
0
.
В данном случае после освобождения от модуля для раскрытия неопределенности вида использовано правило Лопиталя. Затем, пренебрегая единицей по сравнению с бесконечно большой величиной и желая применить шкалу бесконечно больших функций, вводим новую переменную .
В соответствии со шкалой бесконечно больших функций, учитываем, что является бесконечно малой по сравнению с функцией.
о
После выяснения вида неопределенности мы не стали применять правило Лопиталя, так как оно привело бы к усложнению функции, стоящей по знаком предела.
Вместо этого, используя основное логарифмическое тождество, прологарифмировали первоначально заданную функцию. Затем, пренебрегая конечной величиной по сравнению с бесконечно большой величиной , получаем конечный результат.
Пример 8. Найти поведение функции при
Решение примера 8.
.
После освобождения от модуля использована формула для эквивалентных в нуле функций: .
Поведение заданной функции определяется найденными пределами. Добавки (-0) означают, что график функции располагается ниже соответствующих значений пределов (Рис 1), стрелки на графике означают исключение из области допустимых значений аргумента точки с абсциссой .
Рис. 1Рис. 2
.
.
Неопределенность вида раскрывается по правилу Лопиталя.
Поведение заданной функции определяется найденными значениями пределов. Схематично график функции в окрестности точки приведен на Рис. 2. Стрелка на графике означает, что точка с абсциссой исключена из области допустимых значений аргумента.
.
Для раскрытия неопределенности вида было использовано правило Лопиталя.
Предела слева в точке рассматривать нет необходимости, так как заданная функция определена только для положительных значений аргумента . Поведение функции справа от нуля изображена на Рис. 3.
Рис. 3 Рис. 4
.
Для раскрытия неопределенности вида использовали основное логарифмическое тождество. Были использованы также различные формы представления функций, эквивалентных в нуле. В частности, для логарифма использовали формулу , справедливую при . По шкале бесконечно больших функций определили, что логарифм является бесконечно малой величиной по сравнению со степенной функцией .
Поведение заданной функции при изображено на Рис. 4.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. Пределы. Типовые задания
Задача 1. Вычислить предел функции целочисленного аргумента при