Раскрытие неопределенности вида III

Для раскрытия неопределенности вида применяют алгебраические преобразования, сводящие неопределенность к виду I.В символической форме некоторые из них можно представить, как

1) ;

2) .

Полученная неопределенность вида Iраскрывается по правилу Лопиталя. В первом случае правило Лопиталя применяется отдельно для неопределенности , во втором случае применяется ко всему искомому выражению.

Пример 1.

.

В ходе решения примера правило Лопиталя для раскрытия неопределенности вида I использовалось дважды. Один раз для раскрытия неопределенности , другой раз для раскрытия неопределенности вида .

Пример 2.

.

В результате раскрытия неопределенностей вида здесь было дважды использовано правило Лопиталя.

Раскрытие неопределенности вида IV

Для раскрытия неопределенности вида используется основное логарифмическое тождество , а также свойство логарифма , с помощью которых функцию можно представить в виде

.

Пример 1.

.

Здесь для раскрытия неопределенности вида было использовано правило Лопиталя.

Пример 2. (Второй замечательный предел).

.

Здесь также было использовано правило Лопиталя.

Пример 3.

Здесь дважды было использовано правило Лопиталя.

4. Шкала роста бесконечно больших при функций

Рассмотрим множество степенных функций с положительным показателем степени и дополним это множество логарифмической и показательной функциями:

.

Все эти функции при принимают бесконечно большие значения, но каждая из них имеет свой порядок роста (свою «скорость» роста). Порядок расположения функций во множестве соответствует их порядку роста при . Чем правее расположена функция в указанном множестве, тем она имеет более высокий порядок роста.

Таким образом, начиная с логарифмической функции и кончая показательной функцией, мы имеем некую шкалу роста функций - направленное множество функций, направленность которого связана с порядком роста функций при .

Несмотря на то, что все функции из множества при принимают сколь угодно большие значения, любая функция, расположенная левее по шкале роста, по сравнению с функцией, стоящей справа, является бесконечно малой функцией.

Порядок расположения функций по шкале роста связан и продиктован справедливостью следующих предельных соотношений:

.

.

,

Здесь число является ближайшим целым числом к числу . В ходе вычисления последнего предела ( ) раз применялось правило Лопиталя .

Итак, среди всех бесконечно больших функций рассматриваемого множества «самой медленной» при функцией является логарифмическая функция , а «самой быстрой» показательная функция .

Анализируя поведение функций при , удобно применять представленную шкалу роста элементарных функций, лишний раз не прибегая к явному использованию правила Лопиталя. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Вычислим предел функции .

Сравнивая две функции под корнем, и учитывая их расположение по шкале роста, первой из них можно пренебречь по сравнению со второй. Далее сравнивая оставленную функцию с логарифмической функцией числителя, с учетом их расположения по шкале роста, пренебрегаем логарифмической функцией

о о

.

Поиск по сайту: