Д. р. з відокремлюваними змінними

Означення.Д. р. називається з відокремлюваними змінними, якщо можна розкласти на множники функцію

так, що один із співмножників залежить тільки від х, а другий – тільки від у.

При розв’язанні можна дотримуватись такої послідовності.

1. Розкладаємо функцію на множники

2. Замінюємо відношенням диференціалів , тоді дістанемо

3. Розділимо (відокремлемо) змінні так, щоб при dyбув вираз відносно y, а при dx – вираз відносно x, тобто

( ).

4. Інтегруємо кожну з частин по відповідним змінним

.

Якщо позначити відповідні первісні через і , то отримаємо загальний інтеграл

.

Якщо із останньої рівності знайдемо y в явній формі , то отримаємо загальний розв’язок.

Аналогічним чином означається як д. р. з відокремлюваними змінними рівняння записане в диференціалах:

Д. р. (1) буде з відокремлюваними змінними, якщо кожну з функцій можна розкласти на множники:

Похідну замінимо відношенням

Інтегруючи почленно, маємо

- загальний інтеграл, де - відповідні первісні.

Приклади.

1. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

2.

Розв’язання.

3. Знайти частинний розв’язок д. р.

при початковій умові .

Розв’язання.

Згідно з початковою умовою при х=0 маємо

тоді

отримали частинний розв’язок.

Розв’язати самостійно д. р.

1.

2.

3.

4.

5. 6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Однорідні диференціальні рівняння

Означення. Функція називається однорідною к-того порядку відносно змінних x і y, якщо для довільного виконується рівність

Приклади. Встановити, які з функцій однорідні:

а)	б)
в)	г)
д)

Розв’язання.

а)

- однорідна третього порядку.

б) - однорідна першого порядку.

в) - однорідна нульового порядку.

г) - функція не є однорідною при жодному k.

д) - однорідна нульового порядку.

Зауваження. Якщо функція має однорідність нульового порядку, тобто

,

то її можна звести до вигляду .

Дійсно, взявши в останній рівності, отримаємо

, .

Наприклад, для , якщо чисельник і знаменник почленно розділити на , то отримаємо

Тепер у виразі даної функції відношення виступає, як одна змінна.

Вправи.а)Представити однорідні функції нульового порядкутак,щоб вони були залежними відносно .

1.	2.
3.	4.

Відповіді.

1.	2.
3.	4.

б)Перетворити д.р. так, щоб вони містили вирази .

1.	2.
3.	4. .

Відповіді.

1. .	2.
3.	4.

Означення. Д. р. називається однорідним відносно змінних x iy, якщо функція однорідна нульового порядку, тобто

Метод розв’язання.

1. Робимо заміну: (z – невідома функція) , тоді

2. Переходимо до нової змінної в д. р.

Отримали д. р. з відокремлюваними змінними.

3. Відокремлюємо змінні

4. Інтегруємо:

Нехай - первісна для лівої частини, тоді

-

загальний інтеграл.

5. Звільняємось від змінної , отримаємо

-

загальний інтеграл.

Приклади. Розв’язати рівняння.

1.

Розв’язання. Розділяємо обидві частини рівняння на х:

1) Заміна .

2)

3)

4) ,

.

2. .

Розв’язання. Розділяємо обидві частини рівняння на х:

1) .

2) .

3) .

4)

Розв’язати самостійно

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11.

12.

13. 14.

Поиск по сайту: