Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння (ЛНДР) ІІ-го порядку. Теорема про структуру розв’язку

Лінійне неоднорідне д. р. ІІ-го порядку має вигляд

, (1)

де f(x) – відома неперервна на деякому інтервалі функція (вільний член). Розглянемо окремий випадок, коли p і q – сталі. Нехай відповідне однорідне рівняння

(2)

має загальний розв’язок , який знаходиться за однією з формул (3) - (5) попереднього параграфа. Нехай, далі, - деякий частинний розв’язок ЛНДР (1). В подальшому будемо опиратись на таку теорему (подаємо без доведення).

Теорема(про структуру загального розв’язку ЛНДР). Загальний розв’язок лінійного неоднорідного д. р. (1) ( ) дорівнює сумі загального розв’язку ( ) відповідного однорідного д. р. (2) і частинного розв’язку ( ) початкового неоднорідного д. р. (1), тобто

, (3)

Далі зупинимось на двох випадках розв’язання ЛНДР, коли вільний член має спеціальний вигляд:

1) , де - заданий многочлен, - відоме число;

2) , де - задані.

12. Розв’язання ЛНДР ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами і вільним членом .

Нехай задано ЛНДР

, (1)

де - відомі числа, - многочлен порядку (степеня) , коефіцієнти, якого теж відомі. Загальний розв’язок ЛНДР (1) будемо знаходити у відповідності з теоремою про структуру:

.

Нам вже відомо, що загальний розв’язок однорідного д. р. записується однією з формул

, (2)

якщо - дійсні;

, (3)

якщо - дійсні і рівні;

(4)

якщо - комплексні.

Відповідно вільному члену частинний розв’язок ЛНДР (1) знаходиться у вигляді

, (5)

де

(6)

- многочлен степеня (степінь такий же, як у многочлена , що в правій частині (1) ). Невідомі А,В,…,N знаходяться за методом невизначених коефіцієнтів, який пояснимо на прикладі.

Запишемо ще декілька виразів для в залежності від порядка n. Так якщо

(7)

Розглянемо тепер кілька прикладів на складання - частинного розв’язку.

Приклади. Записати - частинний розв’язок для поданих д. р.

1.	4.
2.	5.
3.	6.

Розв’язання.

1. Знаходимо корені характеристичного рівняння . . З правої частини знаходимо степінь многочлена , коефіцієнт при в показнику степеня . Поскільки і , то за формулою (6) .Отже, за формулою(4)

.

. З правої частини д. р. , тому . Поскільки , то і , тому за формулою (6) . Отже,

.

3. . З правої частини маємо , тоді , і , тому . Отже,

.

4. , , , і , тому , тоді

.

5. , , , і , тому . Отже,

.

6. , . , , тому

.

Приклад. Знайти загальний розв’язок д. р.

. (8)

Розв’язання. Виконаємо за таким алгоритмом.

1. Знаходимо загальний розв’язок однорідного д. р.

,

- дійсні і різні.

Відповідно формулі (2) маємо

.

2. Складаємо - частинний розв’язок. З правої частини ЛНДР

(8) маємо , , - співпадає з . Отже,

.

3. Знаходимо ,

4. Підставимо , , в початкове д. р. (8) , при цьому обидві частини скоротимо на , отримаємо

.

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях

.

Отже, .

-

шуканий загальний розв’язок.

Розв’язати самостійно

1.	8.
2.	9.
3.	10.
4.	11.
5.	12.
6.	13.
7.	14.

13. Розв’язання ЛНДР ІІ-го порядку із сталими коефіцієнтами і вільним членом

Розглянемо ЛНДР

(1)

(2)

- відповідне однорідне рівняння,

- його характеристичне рівняння з коренями і . Нехай - загальний розв’язок ЛОДР (2). Частинний розв’язок знаходиться

у вигляді

(3)

де А і В – невідомі коефіцієнти, число , якщо корені характеристичного рівняння не дорівнюють числу . Якщо ж один з коренів дорівнює , то .

Приклад. Знайти загальний розв’язок д. р.

. (4)

Розв’язання.

1. Знаходимо загальний розв’язок д. р.

,

.

.

2. З правої частини (4) знаходимо , число співпадає з одним з коренів характеристичного рівняння, тому . Отже,

.

3. Знаходимо ,

.

4. Підставимо і в д. р. (4)

.

Прирівняємо коефіцієнти при і

.

Тоді маємо

,

а загальний розв’язок запишеться

.

Розв’язати самостійно

1. .	7. .
2. .	8.
3. .	9. .
4. .	10. .
5. .
6. .

Поиск по сайту: