Диференціальні рівняння вищих порядків

Розглянемо д. р. - го порядку, записане в явній формі

. (1)

Для нього теж має місце теорема про існування та єдиність розв’язку, аналогічна сформульованій в п. 2 для першого порядку.

Теорема.Якщо в рівнянні

функція і її частинні похідні по аргументах неперервні в деякій області, що містить значення

,

то існує і притому єдиний розв’язок д. р. (1), який задовольняє початковим умовам.

(2)

Умови (2) називаються початковими умовами, де - задані числа.

Для диференціального рівняння другого порядку

(3)

ці початкові умови мають вигляд:

(4)

Задача Коші для д. р. -го порядку полягає у знаходженні розв’язку д. р. (1) при заданих початкових умовах (2).

Означення 1. Загальним розв’язком д. р. -го порядку називається функція

,

яка залежить від довільних сталих величин і така, що задовольняє такі умови:

1) вона є розв’язком д. р. (1) для довільних значень ;

2) для довільних початкових умов , при яких д. р. має розв’язок можна указати такі значення , що функція буде задовольняти ці початкові умови.

Означення 2. Всяка функція, яка може бути отримана із загального розв’язку даного д. р. при конкретних значеннях називається частинним розв’язком.

Якщо функція, яка є загальним розв’язком д. р., отримана у неявній формі

,

то її називають загальним інтегралом д. р.

Процес знаходження загального розв’язку або загального інтеграла даного д. р. називається інтегруванням або розв’язанням диференціального рівняння.

Диференціювальні рівняння другого порядку,

які допускають зниження порядку

І. Рівняння вигляду

,

яке не містить явно і , розв’язується двохкратним інтегруванням.

Наприклад,

.

Аналогічно, -кратним інтегруванням можна розв’язувати д. р. вигляду

.

ІІ. Рівняння другого порядку, яке не містить невідомої функції

За допомогою підстановки , де - невідома функція, (звідки ) неретворюється в д. р. першого порядку

.

ІІІ. Рівняння другого порядку, яке явно не містить незалежної змінної ,

За допомогою підстановки (звідки ) теж зводиться до першого порядку

.

Приклади. 1. Знайти загальний розв’язок д. р.

.

Розв’язання. Підстановка приводить до лінійного д. р. першого порядку

.

Розв’яжемо його заміною , , маємо

,

.

.

- загальний розв’язок.

2. Знайти загальний розв’язок рівняння

.

Розв’язання. Д. р. явно не містить . Підстановка . Рівняння запишеться:

- загальний інтеграл.

Приклади. Знайти загальні інтеграли (загальні розв’язки) рівнянь.

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .

Поиск по сайту: