Вычисление предела функции в точке

Наиболее универсальным средством вычисления предела функции f(x) в точке a является замена переменной: . В результате необходимо вычислить предел функции f(t+a) при t→0. При этом можно воспользоваться таблицей эквивалентных функций, см. §4. Обратим внимание, замена t=x–a устроена таким образом, что при x→a–0 t→–0 и вычисляется предел в точке t=0 слева, при x→a+0 t→+0 – вычисляется предел в точке t=0 справа.

Пример.6. Вычислить предел .

◄ . Подставляем значение x=0 в функцию f(x). Выясняется, что точка x=0 не принадлежит области определения функции f(x) (деление на нуль), неопределенность вида , вычислить можно только предельное значение функции f(x) при x→0.

x→0, замена переменной не требуется. Аргумент функции ln(1+5x), (5x) и аргумент функции sin2x, (2x) – бесконечно малые величины, (§5), , ,(9 и 1 §4).

. Были использованы свойствами предела (§2).

Ответ: . 

Пример.7. Вычислить предел .

◄ . Подставляем значение x=0 в функцию f(x). Выясняется, что точка x=0 не принадлежит области определения функции f(x) (деление на нуль), неопределенность вида , вычислить можно только предельное значение функции f(x) при x→0.

x→0, замена переменной не требуется. Аргумент функции cos4x, (4x) и аргумент функции tg3x, (3x) – бесконечно малые величины, (§5), , ,(2 и 3 §4).

Используем формулу , 3x→0, (9 §4).

Мы воспользовались свойствами предела (§2) и непрерывностью функций x и ( ) в точке x=0 (§6). Ответ: . 

Пример.8. Вычислить предел .

◄ . Функция f(x) непрерывна в точке x=–1, . Ответ: . 

Пример.9. Вычислить предел .

◄ . Введем новую переменную t=x–(–1)=x+1, при x→–1 t→0, x=t–1.

Ответ: . 

Пример.10. Вычислить предел .

◄ . Введем новую переменную t=x–π, t→0, x=t+π.

.

Ответ: . 

§7. Вычисление предела функции при x→∞

Наиболее универсальным средством вычисления предела функции f(x) при x→∞ является замена переменной: . В результате необходимо вычислить предел функции f(1/t) при t→0. При этом можно воспользоваться таблицей эквивалентных функций, см. §4. Обратим внимание, замена t=1/x устроена таким образом, что при x→–∞ t→–0 и вычисляется предел в точке t=0 слева, при x→+∞ t→+0 и вычисляется предел в точке t=0 справа. Замети, что практическое применение замены t=1/x приводит к трудоемким преобразованиям исходного вида функции f(x) в функцию f(1/t). Поэтому в практике расчетов замену t=1/x явно не проводят. Функцию f(x) преобразуют таким образом, чтобы бесконечно большая переменная x менялась на обратную к ней бесконечно малую переменную 1/x, которая используется при вычислении предела функции.

Пример.11. Вычислить предел .

◄ . Выносим максимальные степени n под корнями, в числителе и знаменателе дроби. Получим .

Ответ: . 

Пример.12. Вычислить предел .

◄ Неопределенность вида . Выносим бесконечно большую величину x под корнем.

Ответ: . 

Пример.13. Вычислить предел .

◄ Неопределенность вида .

Ответ: . 

Пример.14. Вычислить предел .

◄ Неопределенность вида .

Ответ: . 

Поиск по сайту: