МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
_
Кафедра высшей математики
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ И
ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНОГО ЗАДАНИЯ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ
Москва 2007
С о с т а в и т е л и:
доцент, кандидат физико-математических наукВ.Н.Борзунов
Примеры решения задач по теории пределов
Основные определения
Определение 1. Число A называется пределом последовательности , если для любого можно вычислить число (зависящее от ε) такое, что для всех натуральных выполняется .
В этом случае пишут или и говорят, что последовательность сходится к числу A.
Пример.1. Используя определение предела последовательности, доказать, что .
◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено такое число , что для всех натуральных будет выполняться неравенство , то это значит, что . Рассмотрим . Умножаем левую и правую часть неравенства на n и на , учитываем, что n>0 и , знак неравенства не изменится. Получаем, что . Таким образом, за число можно принять число или любое другое число, большее, чем . При всех натуральных , выполняется , следовательно .
Пример.2. Используя определение предела последовательности, доказать, что .
◄ Возьмем произвольное число . Рассмотрим . Умножаем левую и правую часть неравенства на n и на , учитываем, что n>0 и , знак неравенства не изменится. Получаем, что . Таким образом, При всех натуральных , выполняется , следовательно .
Пример.3. Используя определение предела последовательности, доказать, что .
◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено такое число , что для всех натуральных будет выполняться неравенство , то это значит, что . Рассмотрим . Умножаем левую и правую часть неравенства на n и на , учитываем, что n>0 и , знак неравенства не изменится. Получаем, что . Таким образом, за число можно принять число или любое другое число, большее, чем . При всех натуральных , выполняется , следовательно .
Определение 2. Число A называется пределом функцииf(x) в точке a, если для любого можно вычислить число (зависящее от ε) такое, что для всех x, для которых , выполняется .
В этом случае пишут или f(x)→A при x→a и говорят, что предел функции f(x) в точке a существует и равен числу A.
Пример.4. Используя определение предела функции, доказать, что .
◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено число δ(ε)>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству , будет справедливо неравенство , то это значит, что . Рассмотрим . Таким образом, за число δ можно принять число или любое другое положительное число, меньшее, чем . При всех x, для которых справедливо , выполняется , следовательно .
Определение 3. Число A называется пределом функцииf(x) в точке a слева, если для любого можно вычислить число (зависящее от ε) такое, что для всех x, для которых , выполняется .
В этом случае пишут или f(x)→A при x→a–o и говорят, что предел функции f(x) в точке a слева существует и равен числу A.
Определение 4. Число A называется пределом функцииf(x) в точке a справа, если для любого можно вычислить число (зависящее от ε) такое, что для всех x, для которых , выполняется .
В этом случае пишут или f(x)→A при x→a+o и говорят, что предел функции f(x) в точке a справа существует и равен числу A.
Определение 5. Число A называется пределом функцииf(x) при x→–∞, если для любого можно вычислить число xo=xo(ε) (зависящее от ε) такое, что для всех x<xo, выполняется .
В этом случае пишут или f(x)→A при x→–∞ и говорят, что предел функции f(x) при x→–∞ существует и равен числу A.
Определение 6. Число A называется пределом функцииf(x) при x→+∞, если для любого можно вычислить число xo=xo(ε) (зависящее от ε) такое, что для всех x>xo, выполняется .
В этом случае пишут или f(x)→A при x→+∞ и говорят, что предел функции f(x) при x→+∞ существует и равен числу A.
Пример.5. Используя определение предела функции, доказать, что .
◄ Возьмем произвольное число . Если будет найдено число xo(ε) такое, что для всех x>xo, будет справедливо неравенство , то это значит, что Рассмотрим . Неравенство имеет два решения: или . Поскольку вычисляется предел f(x) при x→+∞, то выбираем первое решение xo= . При всех x>xo, выполняется , следовательно . Второе решение соответствует значениям x→–∞, предел f(x) при x→–∞ также равен , .
Некоторые свойства пределов функций
Пусть: C постоянное число,
предел функции f(x) существует в точке a, ,
предел функции g(x) существует в точке a, .
Тогда: ,
,
,
,
, если .
Предел постоянной величины равен значению этой величины. При вычислениях, константу можно и рекомендуется выносить за знак предела. В условии, когда функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы в точке, функции f(x)+g(x), f(x)∙g(x) также имеют пределы в этой точке. При дополнительном условии , существует предел функции f(x)/g(x).
Указанные свойства пределов функций будут соответственно справедливы в точке a слева (x→a–o), в точке a справа (x→a+o), при x→–∞ и при x→+∞.
Эквивалентные функции
Определение 7. Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными приx→a, если .
В этом случае пишут f(x) ~ g(x) при x→a и говорят, что при x→a функция f(x) асимптотически ведет себя как функция g(x) и наоборот, функция g(x) асимптотически ведет себя как функция f(x). При вычислении пределов с использованием эквивалентных функций применяют следующие теоремы:
1. Пусть f(x) ~ g(x) при x→a, тогда , если один из этих пределов существует.
2. Пусть f(x) ~ f1(x) и g(x) ~ g1(x) при x→a, тогда , если один из этих пределов существует.
Можно сравнивать функции f(x) и g(x) в точке a слева (x→a–o), в точке a справа (x→a+o), при x→–∞ и при x→+∞, при этом вычисляют пределы в соответствующих предельных точках. Например, если , то говорят, что функции f(x) и g(x) эквивалентны в точке a слева и при x→a–o функция f(x) асимптотически ведет себя как функция g(x). Если , то говорят, что функции f(x) и g(x) эквивалентны при x→+∞ и пишут f(x) ~ g(x) при x→+∞.