Для заданного возьмем . Тогда из неравенства следует Ч.т.д. Не строгое, но понятное рассуждение: если одно яблоко разделить поровну всем студентам «Плешки», то каждый студент ничего не получит.
Пример 4.2. Не строгое, но достаточно наглядное доказательство формулы следует из таблицы:
-10
-100000
0,01
0.000001
0,0000000001
хотя можно рассуждать и так: .
Пример 4.3. Очевидно, что Это значит, что отношение зависит в этом примере от .
Определение. Отношение называется неопределенностью. Выражения , , , , также являются неопределенностями.
Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Определение. Величина называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.
Определение. Величина называется бесконечно большой, если ее предел равен бесконечности.
Пример 5.1. Величина является бесконечно малой при , бесконечно большой при и бесконечно большой
Замечание 5.1. В предыдущем примере мы написали , хотя мысленно имели в виду Мы так будем делать и дальше. Запись в предыдущем примере также закона, хотя очевидно должно быть .
Свойства бесконечно малых величин
Теорема.
1.Предел равен тогда и только тогда, когда где - бесконечно малая величина.
2.Если является бесконечно малой величиной, то является бесконечно большой.
3.Если ограничена (т.е. и - бесконечно малая, то бесконечно малая.
4.Если и бесконечно малые, то , являются бесконечно малыми.
5.Если ( - константа) и - бесконечно малая, то - бесконечно малая величина.
Основные теоремы о пределах
Теоремы.
1. где
2.Пусть , тогда
3.Если , то .
4.(Теорема о двух милиционерах.)Если и , то
5.Если , то .
Замечание. Желательно знать формулировки этих теорем. Например, предел суммы равен сумме пределов.
Определение. Последовательность называется монотонно возрастающей, если справедливо . Последовательность называется монотонно убывающей, если справедливо . Последовательность ограничена, если
6.Любая ограниченная монотонная последовательность имеет предел.
Замечания. Знак Ш означает, что мы применяем школьную формулу. Знаками 1, 2, 3 ... мы указываем номера применяемых формул, которые даны в конце этого пособия.