Второй замечательный предел

Теорема. ,

Пример 9.1. = ;Ш= = = = ; Ш=

= =

= 5= =Ш= .

Пример 9.2. = = = =

= = =Ш=-5.

Определение непрерывности функции в точке

Определение. Интервал , где , называется окрестностью точки .

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если

Определение. Функция называется разрывной в точке , если она не является непрерывной в точке .

Замечание. Неявно мы требуем, чтобы непрерывная в точке функция была бы определена в некоторой окрестности точки

Определение непрерывности функции на множестве

Определение. Функция называется непрерывной на некотором множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Пример 11.1. Из рисунка 3.1 следует, что функция

у= разрывна при х=0, так как не существует (в том смысле, что оно равняется бесконечности). Аналогично из рисунков 3.2 и 3.3 следует, что функции и разрывны при х=0, соответственно при х=2. Указанные в этом примере функции непрерывны во всех точек, в которых они определены.

Пример 11.2.Рассмотрим график функции (рис.11.1):

Рис. 11.1

Если х>0, то Ш= Если х<0, то Ш= При x=0 функция неопределена, что и показано на рис. 11.1. Эта функция разрывна при x=0 и непрерывна при , что и показано на рис. 11.1.

Пример 11.2.На рис. 11.2 построен график :

Рис. 11.2

Эта функция при обращается в ноль. При х, стремящегося к нулю, стремится к 1. При х=0 неопределена, что и показано на рис. 11.2. Функция разрывна при x=0 и непрерывна при .

Пример 11.3. Функция (рис. 11.3) так

Рис. 11.3

же разрывна при x=0 и непрерывна при любом .

Непрерывность справа (слева)

Определение. Функция называется непрерывной в точке справа, если

Аналогично определяется непрерывность слева.

Пример 12.1. Все функции, графики которых указаны на рисунках 11.1, 11.2, 11.3, являются разрывными в точке х=0 как слева, так и справа.

Устранимый разрыв

Определение. Функция называется разрывной в точке , если она не является непрерывной в этой точке.

Определение. Функция имеет устранимый разрыв в точке , если

Теорема. Если функция имеет устранимый разрыв в точке , то, изменив , мы получим новую функцию, непрерывную в точке .

Пример 13.1. На рис. 11.2 мы видим функцию, которая в точке х=0 имеет устранимый разрыв. Если несколько поправить (см. рис. 13.1), то получим

Рис. 13.1.

непрерывную для всех х функцию .

Разрыв первого рода

Определение. Функция имеет разрыв первого рода в точке , если в точке существуют (конечные) пределы слева и справа и

Пример 14.1. На рис. 11.1 дан график функции, которая имеет в точке х=0 разрыв первого рода, т.к. предел справа равен 1, предел слева равен -1 и эти пределы разные.

Разрыв второго рода

Определение. Если разрыв не является устранимым разрывом и не является разрывом первого рода, то он называется разрывом второго рода.

Пример 15.1. Функция при х=0 имеет разрыв второго рода, так как не существуют пределы ни справа, ни слева. На рис. 3.1 и 3.2 имеем графики функций с разрывом второго рода при х=0. На рис. 3.3 видим разрыв второго рода при х=2.

Поиск по сайту: