(2) - <-ко второй строке раширенной матрице прибавляем первую
умноженную на (-1), а третьей прибавляем первую умноженную на (-2)
Цель получить два нуля под 1 Первую строку оставляем без. изм.
(4)
<- к третьей строке прибавляем вторую умноженную на (4,33)
Цель получить 0 под 1. Первую, вторую строки оставляем без.изменений
В результате прямого хода получили систему с верхнетреугольной матрицей с единицами на главной диагонали
Теперь в матричном виде система выглядит следующим образом:
Т.к. преобразования были эквивалентными, то мы получим решения исходной системы
Обратный ход:
Перейдём к скалярной форме записи:
Или
Из второго уравнения можем найти , а затем из первого
Ответ :
Частные случаи:
Первый частный случай:
если на 4 шаге получается, что третья строка вся состоит из нулей, то в этом случае наша система не имеет единственного решения, т.к.третье уравнение системы выглядит следующим образом:
(т.е в качестве его решения могут выступать произвольные числа )
В этом случае берем:
- произвольное число,
а и будут через него выражаться с помощью первых двух уравнений
Системы
- первое уравнение системы
- второе уравнение системы
Откуда:
, где - произвольное число (из второго ур.)
, где - произвольное число (из первого ур.)
Если , то получим базисное решение
Пример с числами:
Дано:
Найти решение этой системы методом Гаусса
Решение:
Наша система в матричном виде выглядит следующим образом
Решать методом обратной матрицы и методом Крамера данную систему нельзя, т.к.
(формулу и пример расчета определителя см. в лекции№1)
Для решения нашей системы применим метод Гаусса
- расширенная матрица системы (к матрице системы A добавлен столбец свободных неизвестных B)
Прямой ход - приведение матрицы системы к верхнетреугольному виду с 1 на главной диагонали – все вычисления может провести компьютер (см. файл Excel для
6 задачи – выложен на стр. с вариантами)
Получили частный случай: последняя строка расширенной матрицы состоит из 0 =>решение системы не единственно