Вернёмся к изложению самой сути метода Гаусса

- исходная система

Запишем систему в матричном виде:

Матрица системы , к которой справа добавлен столбец свободных коэффициентов , называется расширенной матрицей системы

- расширенная матрица для нашей системы

Рассмотрим специальный вид системы из трёх алгебраических уравнений

эту систему решить просто ( - известно, можно найти из второго ур-я через , а из первого через и )

- так выглядит рассмотренная выше система в матричном виде

В этом случае A – верхнетреугольная матрица с единицами на главной диагонали

Две системы уравнений называются равносильными, или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. С помощью элементарных преобразований системы уравнений получаются системы равносильные между собой. Преобразования проводятся над расширенной матрицей системы.

Оказывается, над расширенной матрицей системы можно провести элементарные преобразования, после которых матрица системы будет иметь верхнетреугольный вид с единицами на главной диагонали – при этом решения исходной системы и преобразованной будут совпадать

Элементарные преобразования:

- строку расширенной матрицы можно поделить или умножить на число

- к любой строке расширенной матрицы можно прибавить другую строку расширенной матрицы умноженную на число

(исходная система) (система с верхнетреугольной матрицей)

Проведём с расширенной матрицей нашей системы элементарные преобразования (они не меняют решение системы уравнений):

Прямой ход (приведение матрицы системы к верхнетреугольному виду)

=

=

=

=

(2) - ко второй строке прибавляем первую умноженную на и к третьей строке прибавляем первую умноженную на , первая строка не меняется

(4) - к третьей строке прибавляем вторую умноженную на , первая и вторая строки не меняются

После элементарных преобразований над расширенной матрицей наша система в матричном виде выглядит так:

а в скалярном виде так:

Обратный ход (поиск неизвестных- они ищутся в обратном порядке)

Пример с числами:

Решить систему из трёх алгебраических уравнений методом Гаусса:

исходная система в скалярном виде

Запишем её в матричном виде:

Её расширенная матрица имеет вид:

- к матрице системы A справа добавлен столбец свободных коэффициентов

Поиск по сайту: