Тема: Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств
Цель работы:закрепить знания и умения студентов по освоению формул.
Теоритическое обоснование:
Решение простейших тригонометрических уравнений
Уравнение
Общее решение
Частные случаи
,
,
,
,
Текст задания:
Практическая работа № 13
Тема: Решение тригонометрических уравнений и неравенств
Цель работы:закрепить знания и умения студентов по освоению методов решения тригонометрических уравнений и неравенств.
Теоритическое обоснование:
1. Решение тригонометрических уравнений
Уравнения, сводящиеся к квадратам
Задача 1.
Решить уравнение sin2 x + sin x – 2 = 0.
Решение.
Это уравнение является квадратным относительно sin x. Если мы обозначим sin x = у, то наше уравнение примет вид: у2 + у – 2 = 0. Решив это уравнение, мы получаем его корни: у1 = 1, у2 = -2. Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений sin x = 1 и sin x = -2.
Корнем уравнения sin x = 1 является х = π/2 + 2πn, n € Z; уравнение sin x = -2 не имеет корней.
Ответ. х = π/2 + 2πn, n € Z.
Задача 2.
Решить уравнение 2 cos2x – 5 sin x + 1 = 0.
Решение.
Заменим cos2x на 1 – sin2 x и получим: 2(1 – sin2 x) – 5 sin x + 1 = 0,
или 2 sin2 x + 5 sin x – 3 = 0.
Обозначив sin x = у, мы получили: 2у2 + 5у – 3 = 0, откуда у1 = -3, у2 = 1/2.
1) sin x = -3 – уравнение не имеет корней, так как |-3|> 1.
2) sin x = 1/2, х = (-1)n arcsin 1/2 + πn = = (-1)n π/6 + πn, n € Z.
Ответ. х = (-1)n π/6 + πn, n € Z.
2. Уравнения вида а sin x + b cosx = c
Задача 3.
Решить уравнение 2 sin x – 3 cosx = 0.
Решение.
Разделим на cos x обе части уравнения и получим 2 tg x – 3 = 0, tg x = 3/2, х = arctg 3/2 + πn, n € Z.
Ответ. х = arctg 3/2 + πn, n € Z.
Уравнения, решаемые разложением левой части на множители
Многие уравнения, в правой части которых располагается 0, решаются путем разложения на множители их левой части.
Задача 4.
Решить уравнение sin 2x – sinx = 0.
Решение.
Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и запишем уравнение в виде 2 sin x cosx – sin x = 0.
Общий множитель sin x вынесем за скобки и получим sin x(2 cosx – 1) = 0.
1) sin x = 0, х = πn, n € Z.
2) 2 cosx – 1 = 0, cosx = 1/2, х = +/-π/3 + 2πn, n € Z.
Ответ. х = +/-π/3 + 2πn, n € Z.
Задача 5.
Решить уравнение cos 3x + sin 5x = 0.
Решение.
Используя формулу приведения sin α = cos (π/2 – α), запишем уравнение в виде cos 3x + cos (π/2 – 5х)= 0.
Воспользуемся формулой для суммы косинусов и получим:
2 cos(π/4 – х) ∙ cos (4х – π/4)= 0.
1) cos(π/4 – х) = 0, х – π/4 = π/2 + πn, х = 3/4 π + πn, n € Z;
2) cos (4х – π/4)= 0, 4х – π/4 = π/2 + πn, х = 3/16 π + (πn)/4, n € Z.
Ответ. х = 3/4π + πn, х = 3/16π + (πn)/4, n € Z.
Задача 6.
Решить уравнение sin 7x + sin 3x = 3 cos 2х.
Решение.
Применим формулу суммы синусов и запишем уравнение в виде
2 sin 5x ∙ cos 2х = 3 cos 2х, или 2 sin 5x ∙ cos 2х – 3 cos 2х = 0,
откуда cos 2х(sin 5x – 3/2) = 0.
Уравнение cos 2х = 0 имеет корни х = π/4 + (πn)/2, а уравнение sin 5x = 3/2 не имеет корней.
Ответ. х = π/4 + (πn)/2, n € Z.
2. Решение тригонометрических неравенств
Задача 1.
Решить неравенство cos x > 1/2.
Решение.
По определению косинуса cos x – это абсцисса точки единичной окружности. Чтобы решить неравенство cos x > 1/2, нужно выяснить, какие точки единичной окружности имеют абсциссу, большую 1/2.
Абсциссу, равную 1/2, имеют две точки единичной окружности М1 и М2.
Точка М1 получается поворотом точки Р (0; 1) на угол -π/3, а также на углы -π/3 + 2πn, где n = +/-1, +/-2, …; точка М2 – поворотом на угол π/3, а также на углы π/3 + 2πn, где n = +/-1, +/-2, …
Абсциссу, большую 1/2, имеют все точки М дуги единичной окружности, лежащие правее прямой М1М2. Таким образом, решениями неравенства cos x > 1/2 являются все числа х из промежутка -π/3 < х < π/3.
Ответ. Все решения данного неравенства – множество интервалов π/3 + 2πn < х < π/3 + 2πn, n € Z.
Задача 2.
Решить неравенство cos x ≤ 1/2.
Решение.
Абсциссу, не большую 1/2, имеют все точки дуги М1ММ2 единичной окружности. Поэтому решениями неравенства cos x ≤ 1/2 являются числа х, которые принадлежат промежутку π/3 ≤ х ≤ 5π/3.
Ответ. Все решения данного неравенства – множество отрезков π/3 + 2πn ≤ х ≤ 5π/3 + 2πn, n € Z.
Задача 3.
Решить неравенство sin x ≥ -1/2.
Решение.
Ординату, не меньшую -1/2, имеют все точки дуги М1ММ2 единичной окружности. Поэтому решениями неравенства sin x ≥ -1/2 являются числа х, принадлежащие промежутку -π/6 ≤ х ≤ 7π/6. Все решения данного неравенства – множество отрезков -π/6 + 2πn ≤ х ≤ 7π/6 + 2πn, n € Z.
Отметим, что все точки окружности, лежащие ниже прямой М1М2, имеют ординату, меньшую -1/2. Поэтому все числа х € (-5π/6; -π/6) являются решениями неравенства sin x < -1/2.
Ответ. Все решения этого неравенства – интервалы (-5π/6 + 2πn; -π/6 + 2πn), n € Z.
Задача 4.
Решить неравенство cos (x/4 – 1) ≤ -(√2/2).
Решение.
Обозначим x/4 – 1 = у. Решая неравенство cos у ≤ -(√2/2), находим 3π/4 + 2πn ≤ у ≤ 5π/4 + 2πn, n € Z.
Заменяя у = x/4 – 1, получаем 3π/4 + 2πn ≤ x/4 – 1 ≤ 5π/4 + 2πn, откуда 1 + 3π/4 + 2πn ≤ x/4 ≤ 1 + 5π/4 + 2πn, 4 + 3π + 8 πn ≤ х ≤ 4 + 5π + 8 πn, n € Z.
Ответ. 4 + 3π + 8 πn ≤ х ≤ 4 + 5π + 8 πn, n € Z.
Текст задания:
1. Решите тригонометрические уравнения
Решение тригонометрических уравнений Вариант 1
А) Выберите номер правильного ответа
А1
Решите уравнение:
1) 2)
3) 4)
А2
Решите уравнение:
1) 2) 3)
4)
А3
Решите уравнение:
1) 2)
3) ; 4)
А4
Найдите сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку
1) 2) 3) 4)
В) Напишите правильный ответ
В1
Укажите количество корней уравнения , принадлежащих промежутку
В2
Решите уравнение:
С) Приведите подробное решение данного задания.
С
При каком наименьшем значении параметра уравнение имеет множество решений? Решите уравнение при найденном значении параметра.
Решение тригонометрических уравнений Вариант 2
А) Выберите номер правильного ответа
А1
Решите уравнение:
1) 2)
3) 4)
А2
Решите уравнение:
1) 2)
3) 4)
А3
Решите уравнение:
1) 2) -
3) ; 4)
А4
Найдите сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку
1) 2) 3) 4)
В) Напишите правильный ответ
В1
Укажите количество корней уравнения , принадлежащих промежутку
В2
Решите уравнение:
С) Приведите подробное решение данного задания.
С
При каком наибольшем значении параметра уравнение имеет множество решений? Решите уравнение при найденном значении параметра.
Решение тригонометрических уравнений Вариант 3
А) Выберите номер правильного ответа
А1
Решите уравнение:
1) 2)
3) 4)
А2
Решите уравнение:
1) 2) 3)
4)
А3
Решите уравнение:
1) 2)
3) ; 4)
А4
Найдите сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку
1) 2) 3) 4)
В) Напишите правильный ответ
В1
Укажите количество корней уравнения , принадлежащих промежутку
В2
Решите уравнение:
С) Приведите подробное решение данного задания.
С
При каком наименьшем значении параметра уравнение имеет множество решений? Решите уравнение при найденном значении параметра.
Решение тригонометрических уравнений Вариант 4
А) Выберите номер правильного ответа
А1
Решите уравнение:
1) 2)
3) 4)
А2
Решите уравнение:
1) 2)
3) 4)
А3
Решите уравнение:
1) 2) -
3) ; 4)
А4
Найдите сумму корней уравнения , принадлежащих промежутку
1) 2) 3) 4)
В) Напишите правильный ответ
В1
Укажите количество корней уравнения ,принадлежащих промежутку
В2
Решите уравнение:
С) Приведите подробное решение данного задания.
С
При каком наибольшем значении параметра уравнение имеет множество решений? Решите уравнение при найденном значении параметра.