Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел, и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-ой замечательный предел, хотя это вовсе не так.
Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу?
На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела):
Неопределённость можно устранить по формуле:
Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись.
Выделим существенные моменты формулы:
1) Речь идёт только об определённостии никакой другой.
2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу.
С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы, которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел :
В данном случае , и по формуле :
Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-ой замечательный предел.
Всё это хорошо, правильно, но сейчас в кадре более любопытные кадры:
Пример 18
Вычислить предел
На первом шаге, не устану повторять, подставляем значение «икс» в выражение под знаком предела. А вдруг никакой неопределённости вообще нет? Так бывает! Но не в этот раз. Подставляя «тройку», приходим к выводу, что здесь неопределённость
Используем формулу
Чтобы не таскать за собой букву «е» и не мельчить, показатель удобнее вычислить отдельно:
В данном случае:
Таким образом:
С точки зрения техники вычислений всё рутинно: сначала приводим первое слагаемое к общему знаменателю, затем выносим константы и проводим сокращения, избавляясь от неопределённости 0:0.
В результате:
Готово.
Обещанный подарок с разностью логарифмов и неопределённостью :
Пример 19
Вычислить предел
Сначала полное решение, потом комменты:
(1)-(2) На первых двух шагах используем формулы . У сложных производных мы «разваливаем» логарифмы, а здесь, наоборот – их нужно «собрать».
(3) Значок предела перемещаем под логарифм. Это можно сделать, поскольку данный логарифм непрерывен на «минус бесконечности». Кроме того, предел же относится к «начинке» логарифма.
(4)-(5) Стандартным приёмом, рассмотренным на базовом уроке про замечательные пределы, преобразуем неопределённость к виду .
(6) Используем формулу .
(7) Экспоненциальная и логарифмическая функция – взаимно обратные функции, поэтому и «е» и логарифм можно убрать. Действительно, согласно свойству логарифма: . Минус перед дробью вносим в знаменатель:
(8) Без комментариев =)
Рассмотренный тип предела не такой редкий, примеров 30-40 у себя нашёл.
Пример 20
Вычислить предел
Это пример для самостоятельного решения. Помимо использования формулы, можно представить предел в виде и заменой свести решение к случаю .
В заключение рассмотрим пределы-«фальшивки».
Вернёмся к неопределённости . Данную неопределённость далеко не всегда можно свести к неопределённости и воспользоваться 2-ым замечательным пределом либо формулой-следствием. Преобразование осуществимо в том случае, если числитель и знаменатель основания степени – эквивалентные бесконечно большие функции. На пример: .
Отвлечёмся от показателя и вычислим предел основания:
В пределе получена единица, значит, числитель и знаменатель не просто одного порядка роста, а ещё и эквивалентны. На уроке Замечательные пределы. Примеры решений мы без проблем свели данный пример к неопределённости и получили ответ.
Аналогичных пределов можно придумать очень много: и т.д.
Дроби данных примеров объединяет вышеуказанная особенность: . В других случаях при неопределённости2-ой замечательный предел не применим.
Пример 21
Найти пределы
Как ни старайся, а неопределённость не удастся преобразовать в неопределённость
Здесь числители и знаменатели оснований одного порядка роста, но не эквиваленты: .
Таким образом, 2-ой замечательный предел и, тем более формулу, ПРИМЕНИТЬ НЕЛЬЗЯ.
! Примечание: не путайте с Примером №18, в котором числитель и знаменатель основания не эквивалентны. Там готовая неопределённость, здесь же речь идёт о неопределённости.
Метод решения пределов-«подделок» прост и знакОм: нужно числитель и знаменательоснования разделить на «икс» в старшей степени (невзирая на показатель):
Если числитель и знаменатель основания разного порядка роста, то приём решения точно такой же:
Пример 22
Найти пределы
Это короткие примеры для самостоятельного изучения
Иногда неопределённости может не быть вообще:
Подобные фокусы особенно любимы составителями сборника Кузнецова. Вот почему очень важно ВСЕГДА на первом шаге выполнять подстановку «икса» в выражение под знаком предела!
Решения и ответы:
Пример 2 Старшая степень числителя: 2; старшая степень знаменателя: 3. Разделим числитель и знаменатель на:
Пример 4 Разделим числитель и знаменатель на: Примечание: самым последним действием умножили числитель и знаменатель на, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.
Пример 6 Разделим числитель и знаменатель на:
Пример 8 Разделим числитель и знаменатель на: Примечание: слагаемое стремиться к нулю медленнее, чем, поэтому является «главным» нулём знаменателя.
Пример 10
Пример 12 Умножим и разделим на сопряженное выражение:
Пример 13 Умножим и разделим на сопряженное выражение: Разделим числитель и знаменатель на:
Пример 15 Проведём замену: Если, то.
Пример 17 Проведём замену: Если, то. Далее используем формулу приведения, тригонометрическую формулу и первый замечательный предел:
Пример 20 Используем формулу
Пример 22
Примечание: бесконечно малая функция стремится к нулю медленнее, чем, поэтому «более большой» ноль знаменателя играет определяющую роль:
Сложные пределы
Пример 1
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя
При подстановке «единицы» в выражение под знаком предела, получается неопределённость , которая устраняется стандартным методом: числитель и знаменатель необходимо разложить на множители, а затем что-нибудь сократить. Разложить на множители…. Были бы у нас многочлены второй степени – без проблем. Но как раскладывать кубические многочлены? Познакомимся с новым приёмом, который основан на одной из теорем алгебры. Сначала кратко передам теоретическую суть:
Рассмотрим многочлен положительной степени. Если число является корнем уравнения , то многочлен делится на многочлен без остатка. В результате деления получается многочлен , при этом: .
Да, многочлены, как и числа, можно делить друг на друга. Термины те же: – делимое; – делитель; – частное.
Начнём оформлять решение и детально разберём техническую сторону вопроса:
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: поскольку число является корнем уравнения , то многочлен делится на многочлен без остатка. Деление выполняется столбиком. В школе столбиком мы делили числа, и принцип деления многочленов весьма похож. Записываем начальный шаблон:
Обратите внимание на очень важную вещь: в многочлене в явном виде отсутствует «икс» в первой степени. При делении ОБЯЗАТЕЛЬНО прописываем все недостающие слагаемые, прикрепляя к ним нулевые коэффициенты.
Теперь в углу нужно разоблачить незнакомца :
Каким он должен быть? Нет-нет-нет, он должен быть ТАКИМ, чтобы при его умножении на «икс» получилось :
Очевидно, что данному критерию удовлетворяет . Действительно, . Записываем первый трофей:
Далее нашего героя необходимо умножить на делитель : , а результат записать во второй строке слева:
Проводим отчёркивание и из первой строки почленно вычитаем вторую строку:
Если подробно, (ноль под чертой не пишем),
Сносим сверху следующее слагаемое:
Алгоритм идёт на следующий круг. Снова ищем одночлен , он должен быть ТАКИМ, чтобы при его умножении на «икс» получилось :
В данном случае . Рисуем его справа под чертой:
и умножаем на делитель : , результат записываем в 4-ую строку:
Ещё раз отчёркиваем и проводим почленное вычитание: (ноль под чертой не пишем), :
Сносим сверху последнее слагаемое:
Организуем завершающий цикл. Необходимо подобрать третье слагаемое , которое при умножении на «икс» даёт :
Уравнению соответствует корень , который записываем справа под чертой:
Умножаем на делитель : , результат записываем в 6-ую строку:
Выполняем завершающее отчёркивание и почленное вычитание:
В итоге получился ноль, и это значит, что все вычисления выполнены правильно. Иными словами, многочлен поделился на без остатка. Таким образом:
Желающие могут раскрыть скобки в правой части и убедиться, что получится исходный многочлен .
Рассмотренный алгоритм на самом деле не сложен, и рука набивается довольно быстро.
Знаменатель. Разборки аналогичны. Так как число является корнем уравнения , то соответствующий многочлен делится на без остатка:
В итоге
Открываем решение и записываем всё, что нажито непосильным трудом:
Приключения продолжаются – после сокращения неопределённость не устранена. Но уже легче, квадратные трёхчлены можно разложить на множители тривиальным способом, рассмотренным на первом уроке про пределы функций. Тем не менее, в целях закрепления алгоритма продолжим деление.
Умножаем на делитель : , результат записываем ниже, отчёркиваем и проводим почленное вычитание:
В остатке получился ноль, значит, деление выполнено верно. Таким образом:
Аналогично расправляемся со знаменателем:
То есть
Снова открываем решение и получаем окончательный ответ:
Выполним проверку. Дважды используем правило Лопиталя:
Сравните трудоёмкость двух способов решения. Думаю, теперь вам понятно, почему запрещают применять правило Лопиталя
ример 2
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя
Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.
Вернёмся к другому известному способу решения пределов, повысив их сложность:
Пример 3
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя
Неопределённость ликвидируется стандартным методом – умножением и делением на сопряженное выражение. Единственное отличие, приём используется два раза:
1) для устранения разности домножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение ;
2) для устранения разности домножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение .
Далее дважды используется формула . Сама техника решения подробно рассмотрена на уроке Пределы. Примеры решений.
Оформляем:
Оба вышеуказанных действия выгоднее выполнить «за один присест». Умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения:
Проверим решение по правилу Лопиталя:
Пример 4
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя
Это более сложный пример для самостоятельного решения.
Иногда в пределах рассматриваемого типа приходится использовать не только формулу разности квадратов , но и формулу разности кубов:
Пример 5
Найти предел
Неопределённость устраняется умножением и делением на сопряженное выражение. Аналогичные, но более простые пределы мы рассмотрели в Примерах №№11-13 урокаМетоды решения пределов. Только здесь работает формула разности кубов:
В данном случае . И, согласно формуле, для разности сопряженным выражением будет вот этот вот страх:
Умножим и разделим на сопряженное выражение, чтобы использовать формулу :
Тоже знакомая картина….
Старшая степень числителя: 2 Старшая степень знаменателя: 2
Таким образом, числитель и знаменатель одного порядка роста, и сразу можно сказать, что предел равен конечному числу.
Разделим числитель и знаменатель на :
Готово.
Пример 6
Найти предел
Это пример для самостоятельного решения. После умножения/деления на сопряженное выражение и упрощений предел будет сведён к случаю Примеров №№1-3 статьи о бесконечно малых функциях. Полное решение и ответ в конце урока.
А сейчас обещанные на уроке Методы решения пределов плюшки на замену переменной. Повышенной сложности:
Пример 7
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя
Аргумент стремится к не самому распространённому числу: , с ходу и не сообразишь, есть здесь вообще неопределённость или нет. Поэтому откроемтригонометрическую таблицу, и выпишем следующие значения:
Проверим предел на наличие неопределённости:
Да, действительно, два бублика.
Проведём предварительный анализ. В пределе находятся тригонометрические функции, и решение, скорее всего, сведётся к первому замечательному пределу. В этой связи напрашивается замена, после которой новая переменная будет стремиться к нулю.
Но перед заменой целесообразно провести некоторое упрощение выражения. В пределе есть тангенс, а работать с этой функцией неудобно (как и с котангенсом тоже). Таким образом, сначала лучше свести всё дело к синусам и косинусам. Пример свирепый, поэтому я закомментирую каждый шаг:
(1) Используем формулу . (2) Дробь числителя приводим к общему знаменателю. (3) Избавляемся от трёхэтажности дроби, а также от косинуса, указывая, что . (4) Выносим константу за значок предела.
Неопределённость никуда не делась, но от тангенса мы избавились, что уже является небольшим достижением
Проведем замену переменной: Если , то Ну и ещё – из замены нужно выразить: .
(5) Выполняем подстановку в соответствии с выполненной заменой. (6) Используем тригонометрические формулы:
(7) Используя значения , упрощаем выражение. (8) Раскрываем скобки в числителе и знаменателе. (9) Приводим подобные слагаемые в числителе. (10) Константу –2 выносим за значок предела. В знаменателе переставляем слагаемые.
И снова два нуля, причём не видно как решать предел дальше…. Но если хорошенько пошуршать в тригонометрических формулах, то история закончится счастливым концом:
(11) Используем формулы половинного угла: . В числителе избавляемся от косинуса, указывая, что . (12) В знаменателе выносим за скобки . (13) Сокращаем числитель и знаменатель на .
Забавно, что всё обошлось даже без замечательного предела.
Не знаю, кто и на каком месте будет рвать себе волосы, но правило Лопиталя даёт ответ фантастически быстро:
Пример 8
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя
Это пример для самостоятельного решения. В тригонометрической таблице нет информации об отрицательных значениях угла. Понятие ориентации угла дано в статьеПростейшие задачи с прямой на плоскости. Наглядная иллюстрация с конкретными примерами также фигурирует при нахождении аргумента комплексного числа. Чтобы воспользоваться таблицей, прибавляем один «оборот»: , то есть и – это один и тот же угол. Таким образом:
Полное решение и ответ в конце урока
Как-то незаслуженно оказались забыты степени:
Пример 9
Найти предел
На повестке дня неопределённость , и решение, очевидно, нужно свести к замечательной формуле . Но в нашем пределе нет единицы, только одинокий косинус. Что делать? Организуем!
(1) Приводим основание степени к виду , для этого используем искусственный приём: прибавляем и вычитаем единицу. Таким образом: (2) В целях применения 2-го замечательного предела возводим основание в степень , и, чтобы ничего не изменилось – в обратную степень . (3) Используем замечательный предел . (4) Теперь в показателе необходимо устранить неопределённость 0:0. Сначала меняем знак в числителе: , минус выносим из предела. (5) В числителе используем формулу . (6) Искусственно преобразуем знаменатель, чтобы получить два первых замечательных предела.
Очень кстати в одном примере подвернулись сразу оба замечательных предела, и после их повторения во второй части статьи рассмотрим:
Замечательные пределы с экспонентой и логарифмом
На практике чаще встречаются пределы и особенно их частные случаи . Предела лично ни разу не видел, а может быть, и видел, да не помню.
Иногда перечисленные пределы называют третьим, четвёртым и пятым замечательным пределом, но своё негативное отношение к избыточной нумерации я уже высказал на урокеПравила Лопиталя, поэтому пусть это будут «просто» замечательные пределы без номеров.
Сама техника решения мало чем отличатся от первого замечательного предела:
Пример 10
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя
Чтобы использовать замечательный предел необходимо применить уже знакомый искусственный приём: в знаменателе умножаем и делим на 2:
Вот и всё. Напоминаю, что в качестве параметра «альфа» может выступать не только переменная «икс», но и сложная функция, лишь бы она стремилась к нулю. В рассмотренном примере .
Короткий закусочный предел для самостоятельного решения:
Пример 11
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя
Заметьте, что условие задачи не ограничивает нас в выборе действий, примеры можно было решить и через замечательные эквивалентности: (эквивалентность ).
(эквивалентности )
Какой способ выбрать? Рекомендую всё-таки решать через замечательные пределы (конечно, если пример не дико сложный) – выглядит солиднее.
Существенная особенность пределов состоит в том, что при перестановке числителя и знаменателя результаты тоже «переворачиваются»:
Пример 12
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя
Как говорится, мал пример да заковырист….
Решаем:
На первом шаге нужно перейти к новой переменной ТАК, чтобы она стремилась к нулю. Проведём замену: , тогда: Если , то
Для самостоятельного решения:
Пример 13
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя
Если возникли затруднения на начальном этапе, пожалуйста, вернитесь к Примеру №9.
Разберём напоследок что-нибудь посложнее. Типовой и довольно распространённый предел:
Пример 14
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя
Сначала полное решение, потом комментарии:
(1) На первых шагах избавляемся от синуса. Умножим числитель и знаменатель на . (2) Используем первый замечательный предел , где . Константу выносим из предела. (3) Проводим искусственное преобразование числителя. Возьмите его на заметку, разность экспонент раскручивается именно так. (4) Почленно делим числитель на знаменатель. (5) Числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 2. Числитель и знаменатель второй дроби умножаем на –3. (6) В обеих дробях используем замечательный предел , после чего остались от козлика рожки да ножки.
Используя правило Лопиталя, выполним проверку:
Заключительный пример посвящен раритету . Если его не встречал я, то это не значит, что его не встретите вы. Встретите. Причём, прямо сейчас =)
Пример 15
Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя
Это пример для самостоятельного решения.
Всего примеров получилось таки 15-ть, а не 20-ть, и ваш покорный слуга постарался отобрать самые распространенные вещи. Желающие ознакомиться с другими пределами, могут закачать соответствующий архив решений в банке задач по высшей математике. Однако должен предупредить, будьте осторожнее – некоторые экземпляры не то, чтобы сильно сложные, но точно рождены воспалённым сознанием. Я постарался разобрать тему без навороченных нелепых примеров, поскольку убеждён, что студент должен мучиться с удовольствием =)
И приснится вам сегодня правило Лопиталя =)
Решения и ответы:
Пример 2 Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе используем формулу суммы кубов : Знаменатель: Таким образом:
Пример 4 Умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения. Разложим числитель и знаменатель на множители:
Пример 6 Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение, используем формулу разности кубов :
Пример 8 Используем формулу : Проведём замену переменной: Если , то Используем тригонометрическую формулу : Используем формулы половинного аргумента :
Пример 11
Умножаем числитель и знаменатель на , используем замечательный предел , где . В конце используем 1-ый замечательный предел: