Начнём с того же самого – как сформулировать данное понятие? Словесное определение предела функции формулируется значительно проще: «число является пределом функции , если при «икс», стремящемся к (и слева, и справа), соответствующие значения функции стремятся к » (см. чертёж). Всё вроде бы нормально, но слова словами, смысл смыслом, значок значком, а строгих математических обозначений маловато. И во втором параграфе мы познакомимся с двумя подходами к решению данного вопроса.
Пусть функция определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки . В учебной литературе общепринято считают, что функция там неопределена:
Такой выбор подчёркивает суть предела функции: «икс» бесконечно близкоприближается к , и соответствующие значения функции – бесконечно близко к . Иными словами, понятие предела подразумевает не «точный заход» в точки, а именно бесконечно близкое приближение, при этом не важно – определена ли функция в точке или нет.
Первое определение предела функции, что неудивительно, формулируется с помощью двух последовательностей. Во-первых, понятия родственные, и, во-вторых, пределы функций обычно изучают после пределов последовательностей.
Рассмотрим последовательность точек (на чертеже отсутствуют), принадлежащих промежутку и отличных от , которая сходится к . Тогда соответствующие значения функции тоже образуют числовую последовательность, члены которой располагаются на оси ординат.
Предел функции по Гейне: число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности точек (принадлежащихи отличных от), которая сходится к точке , соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Генрих Гейне – это немецкий математик. …И не надо тут ничего такого думать, гей в Европе всего лишь один – это Гей-Люссак =)
Второе определение предела соорудил… да-да, вы правы. Но сначала разберёмся в его конструкции. Рассмотрим произвольную -окрестность точки («чёрная» окрестность). По мотивам предыдущего параграфа, запись означает, чтонекоторое значение функции находится внутри «эпсилон»-окрестности.
Теперь найдём -окрестность, которая соответствует заданной -окрестности(мысленно проводим чёрные пунктирные линии слева направо и затем сверху вниз). Обратите внимание, что значение выбираетсяпо длине меньшего отрезка, в данном случае – по длине более короткого левого отрезка. Более того, «малиновую» -окрестность точки можно даже уменьшить, поскольку в нижеследующем определении важен сам факт существования этой окрестности. И, аналогично, запись означает, что некоторое значение находится внутри «дельта»-окрестности.
Предел функции по Коши: число называется пределом функции в точке , если для любойзаранее выбранной окрестности (сколь угодно малой),существует -окрестность точки , ТАКАЯ, что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие) входят в данную окрестность: (красные стрелки) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки).
Должен предупредить, что в целях бОльшей доходчивости я немного сымпровизировал, поэтому не злоупотребляйте =)
Короткая запись: , если
В чём суть определения? Образно говоря, бесконечно уменьшая -окрестность, мы «сопровождаем» значения функции до своего предела, не оставляя им альтернативы приближаться куда-то ещё. Довольно необычно, но опять же строго! Чтобы как следует проникнуться идеей, перечитайте формулировку ещё раз.
! Внимание: если вам потребуется сформулировать только определение по Гейне или только определение по Коши, пожалуйста, не забывайте о существенномпредварительном комментарии: «Рассмотрим функцию, которая определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки». Я обозначил это единожды в самом начале и каждый раз не повторял.
Согласно соответствующей теореме математического анализа, определения по Гейне и по Коши эквивалентны, однако наиболее известен второй вариант (ещё бы!), который также называют «предел на языке »:
Пример 4
Используя определение предела, доказать, что
Решение: функция определена на всей числовой прямой кроме точки . Используя определение , докажем существование предела в данной точке.
Примечание: величина «дельта»-окрестности зависит от «эпсилон», отсюда и обозначение
Рассмотрим произвольную -окрестность. Задача состоит в том, чтобы по этому значению проверить, существует ли -окрестность, ТАКАЯ, что из неравенства следует неравенство .
Предполагая, что , преобразуем последнее неравенство: (разложили квадратный трёхчлен)
После упрощений для лучшего понимания перепишем ещё раз то, что требовалось проверить: «…существует ли -окрестность, ТАКАЯ что из неравенства следует неравенство ?»
Конечно, существует, например, . В этом случае из неравенства следует (формально оно же само). Следует отметить, что в качестве примера можно привести и любую меньшую «дельта»-окрестность, например, , поскольку из неравенства тем более следует, что (из того, что «в кармане меньше 50-ти рублей» следует то, что «в кармане меньше 100 рублей»). Однако в качестве стандартного примера окрестности практически всегда берут «пограничное» значение, в данном примере .
Вывод: для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлась окрестность точки , такая, что из неравенства следует неравенство . Таким образом, по определению предела функции. Ч.т.д.
Небольшое задание для самостоятельного решения.
Пример 5
Доказать, что
Слишком просто? А вы попробуйте грамотно оформить, и, самое главное, ПОНЯТЬ, ход решения ;-)
Следует отметить, что рассмотренные задачи не дают нам каких-то способов решения пределов, они позволяют лишь доказать либо опровергнуть существование некоторых из них.
Определение бесконечного предела, в частности предела , тоже формулируется 2-мя способами. Приведу наиболее популярный вариант. Пусть функция определена на промежутке , который содержит сколь угодно большие значения «икс». Предел функции равен «плюс бесконечности» при , если для любогосколь угодно большого числа (заранее заданного) найдётся окрестность , такая, что: КАК ТОЛЬКО значения аргумента войдут в данную окрестность: (красная стрелка), ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции зайдут в -окрестность: (синяя стрелка):
Сокращённая запись: , если
Определения следующих двух пределов предлагаю сформулировать самостоятельно:
Изобразите на чертеже принципиальную картину, прорисуйте окрестности и постарайтесь корректно записать определения. Для обозначения закрытых окрестностей используйте буквы , для открытых к бесконечности – буквы . Ответы в конце урока.
Случаи «минус бесконечности» и обобщённый случай легко отыскать в соответствующей литературе.
Что делать дальше? После освоения теории пределов целесообразно перейти к изучениюнепрерывности функции, правда, в рамках сайта сформулировано лишь «прикладное» определение непрерывности, поэтому книги в помощь. Далее в 1-м семестре, как правило, проходят производные. Здесь я рекомендую придерживаться той же схемы – сначалаучимся дифференцировать, затем осваиваем теоретический материал о производной, «сопутствующие» теоремы и т.д.
Ни в коем случае не расстраивайтесь, если дела «пойдут не очень», в конце концов, тут нужно принять во внимание, что учиться на «технаря» вообще непросто: что-то даётся легче, что-то труднее, а с чем-то может и помучиться придётся. Лично у меня некоторые разделы математики шли лучше, некоторые хуже, а программирование вообще переносилось с трудом (уж не знаю, почему). Нельзя идеально знать и любить всё.
Оглядываясь в прошлое, с улыбкой вспоминаю свои первый месяцы учёбы – тогда математический анализ показался мне самой трудной дисциплиной, и я с перепуга выучил ВЕСЬ материал 1-го семестра, даже сказать точнее не выучил, а почти во всём разобрался, чего и всем желаю!
Надеюсь, данная статья была полезна, а может, и послужила ключом к предмету!
Решения и ответы:
Пример 3:Решение: докажем, что. Для этого рассмотрим произвольную-окрестность точки и проверим, найдётся ли натуральный номер – такой, что выполнено: Преобразуем неравенство:
(подумайте, почему) Для всех «эн»:, поэтому: Вывод: т.к. «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой-окрестности точки нашлось значение, такое, что выполнено. Таким образом, по определению.Что и требовалось доказать.
Формулировка предела: , если
Пример 5:Решение: функция определена на всей числовой прямой. Используя определение, докажем существование предела в точке. Рассмотрим произвольную-окрестность и проверим,найдётся ли-окрестность,такаячто из неравенства следует. Преобразуем неравенство с «эпсилон»: В качестве искомой окрестности выбираем. Вывод: для любой сколь угодно малой-окрестности точки нашлось значение, такое, что, следовательно, по определению.Ч.т.д.