Таблиця 4.1 - Дані про випуск продукції та споживання сировини підприємств
Випуск продукції, тис. грн.
Споживання сировини, тис. т
214,6
3,2
327,4
4,1
435,4
2,2
446,7
1,6
550,1
4,4
561,3
10,5
575,0
2,6
Визначити:
- параметри лінійного рівняння регресії;
- коефіцієнт еластичності;
- коефіцієнт детермінації та індекс кореляції;
- лінійний коефіцієнт кореляції Пірсона;
- істотність зв’язку за допомогою F-критерію Фішера та t-критерію Стьюдента.
Згідно умови факторною ознакою (х) буде споживання, а результативною ознакою (у) – випуск продукції.
Лінійне рівняння парної регресії, що дозволяє встанови теоретичну залежність Y за фактичними даними таблиці 6.1, має вигляд:
Для визначення параметрів a і b парного лінійного рівняння регресії використовуєм систему нормальних рівнянь:
Розв'язання даної системи рівнянь, дає наступні формули визначення параметрів:
Розрахунок параметрів рівняння регресії здійснюємо на основі даних табл. 4.2.
Таблиця 4.2 - Розрахунок параметрів лінійного рівняння
№
Споживання сировини, тис. Т, x
Випуск продукції, тис. грн., y
x2
y2
xy
Y
3,2
214,6
10,24
46053,16
686,72
431,18
4,1
327,4
16,81
107190,76
1342,34
444,56
2,2
435,4
4,84
189573,16
957,88
416,32
1,6
446,7
2,56
199540,89
714,72
407,41
4,4
550,1
19,36
302610,01
2420,44
449,01
10,5
561,3
110,25
315057,69
5893,65
539,66
2,6
6,76
330625,00
1495,00
422,27
Разом
28,6
3110,5
170,82
1490650,67
13510,75
3110,5
Середне
4,08
444,36
24,40
212950,1
1930,11
6220,81
Отже, рівняння регресії для залежності роздрібного товарообороту від доходів населення має вигляд:
При збільшені Імпортних товарів та послуг на 1цю, ВВП збільшується на 14,16
Визначимо коефіцієнт еластичності , який показує, на скільки відсотків в середньому змінюється результативна ознака у при зміні факторної ознаки х на 1,0%. Відповідно, для лінійної залежності загальний коефіцієнт еластичності дорівнює:
На підставі коефіцієнта еластичності можна зробити висновок, що при імпортних товарів чи послуг на 1,0% роздрібний товарообіг зростає на 0,9%
Щільність зв’язку характеризує коефіцієнт детермінації, який являє собою частку факторної дисперсії у загальній:
Допоміжні розрахунки для визначення характеристик щільності та істотності зв’язку здійснюємо на основі табл. 6.8.
Відхилення фактичних значень у від теоретичних Y характеризують вплив на результативну ознаку всіх інших факторів, окрім х.
Варіацію у, зумовлену впливом тільки фактора х вимірює факторна дисперсія:
Загальна дисперсія дорівнює:
Таблиця 4.3 – До розрахунку дисперсій
№
Споживання сировини, тис. Т, x
Випуск продукції, тис. грн., y
Y
Y-y_
(Y-y_ )2
3,2
214,6
431,18
-13,18
173,58
4,1
327,4
444,56
0,20
0,04
2,2
435,4
416,32
-28,04
785,97
1,6
446,7
407,41
-36,95
1365,39
4,4
550,1
449,01
4,66
21,69
10,5
561,3
539,66
95,30
9082,63
2,6
422,27
-22,09
488,02
Разом
28,6
3110,5
3110,41
11917,32
Продовження таблиці 4.3
y-y_
(y-y_)2
-229,76
52788,34
-116,96
13678,97
-8,96
80,23
2,34
5,49
Продовження таблиці 4.3
105,74
11181,55
116,94
13675,63
130,64
17067,56
108477,78
За даними табл. 4.3 коефіцієнт детермінації дорівнює:
Коефіцієнт детермінації свідчить про те, що зв’язок між ВВП та Імпортом товарів тісний. Значення показує, що варіація випуску продукції на 1,1% під впливом неврахованих факторів.
Перевірка істотності зв’язку здійснюється шляхом порівняння та . . При ступенях свободи k1=m–1=2–1=1 та k2=n-m=7-2=5(m – кількість параметрів рівняння, n – кількість одиниць досліджуваної сукупності) і прийнятому рівні істотності критичне значення коефіцієнта детермінації . Оскільки , зв’язок між випуском та споживанням слабкий.
Індекс кореляції вимірює щільність зв’язку і обчислюється за формулою:
Для доповнення дослідження напрямку зв’язку у разі лінійної залежності використовують лінійний коефіцієнт кореляції (Пірсона), якийхарактеризує не тільки щільність, а й напрямок зв’язку.
Для розрахунку лінійного коефіцієнта кореляції скористаємося формулою:
Це означає, що зв’язок випуском та споживанням слабкий і прямий.
Абсолютне значення лінійного коефіцієнта кореляції збігається з індексом кореляції = 0,332
Істотність зв'язку перевіряють за допомогою F-критерію Фішера, фактичне значення якого визначають за формулою:
Критичне значення (0,99) = 16,26, що набагато більше від фактичного (0,99) > , тобто 16,26 > 0,618, що не підтверджує істотність кореляційного зв'язку між досліджуваними ознаками.
Для встановлення достовірності обчисленого лінійного коефіцієнта кореляції використовують критерій Стьюдента ( критерій), який для парної лінійної регресії обчислюється за формулою:
,
З таблиці значень функції розподілу Стьюдента для ймовірності 0,99 та вибираємо . Оскільки , то можна стверджувати, що існування зв’язку між досліджуваними ознаками не підтверджується.
Висновок:
Отже ми визначили:
Параметри лінійного рівняння, і отримали : Y=-383,63+14,86x; також знайшли коефіцієнт еластичності 0,009 на підставі коефіцієнта еластичності можна зробити висновок, що при імпортних товарів чи послуг на 1,0% роздрібний товарообіг зростає на 0,9% ;
Коефіцієнт детермінації свідчить про те, що зв’язок між випуском та споживання слабкий, що варіація випуску визначається варіацією споживання на 1,1% , тобто впливом неврахованих факторів;
Індекс кореляції і виявили що зв’язок між результативною ознакою и фактичною а слабким і дорівнює 0,332.
І останнім визначили лінійний коефіцієнт кореляції Пірсона і він є 0,332, це означає, що зв’язок випуску та споживанням слабкий.
Критерій Стьюдена також підтвердив, що існує слабий зв’язок