Средняя арифметическая – основной вид средних величин. Она может быть простой и взвешенной.
Средняя арифметическая простая исчисляется путем деления суммы значений признака (вариант) на число значений:
где – средняя арифметическая;
– отдельные значения признака;
– число значений признака.
Пример. Студент сдал 3 экзамена и получил следующие оценки: 6, 7, 8. Рассчитаем средний балл по формуле средней арифметической простой: (6+7+8)/3 = 21/3 = 7.
Таким образом, средняя арифметическая простая применяется в случаях, если каждое индивидуальное значение признака встречается один раз или одинаковое число раз.
Если данные представлены в виде дискретного ряда распределения, то расчет средней производится по формуле средней арифметической взвешенной: ,
где х – значение признака (варианты);
f – частота повторения соответствующего признака (веса); количество величин с одинаковым значением X.
Пример. Студент сдал 5 экзаменов и получил следующие оценки: 7, 7, 8, 9 и 9. Рассчитаем средний балл по формуле средней арифметической взвешенной: (7∙2+8∙1+9∙2)/5 = 40/5 = 8.
Таким образом, средняя арифметическая взвешенная применяется в случаях, если значения признака (варианты) встречаются неодинаковое число раз.
Простая средняя считается по не сгруппированным данным, взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным.
При расчёте средней арифметической по интервальному ряду (если значения X заданы в виде интервалов) для выполнения необходимых вычислений необходимо перейти к дискретному ряду. Для расчетов используют середины интервалов X, которые определяются как полусумма верхней и нижней границ интервала. А если у интервала X остутствует нижнияя или верхняя граница (открытый интервал), то для ее нахождения применяют размах (разность между верхней и нижней границей) соседнего интервала X.
,
где ;
– нижняя граница интервала;
– верхняя граница интервала.
Пример. Имеются данные о распределении рабочих предприятия по стажу работы:
Стаж, лет, х
Число работников, ƒ
Среднее значение интервала, х'
Произведение вариант на частоты,
х'ƒ
До 5
(0+5)/2=2,5
87,5
5-10
(5+10)/2=7,5
562,5
10-15
(10+15)/2=12,5
15-20
(15+20)/2=17,5
20 и выше
(20+25)/2=22,5
Итого
-
= 2065:200 = 10,325 лет
Свойства средней арифметической:
1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты:
∙Σƒ =Σхƒ.
2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака (вариант) от средней арифметической равняется нулю:
; .
3. Если все варианты уменьшить или увеличить на какое-либо число, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится или увеличится на столько же.
Уменьшим все варианты х на а, т.е. . Тогда:
.
Увеличим все варианты х на а, т.е. . Тогда:
4. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в а раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в а раз:
Если все варианты уменьшить в а раз, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится в а раз.
Пусть , тогда .
Если все варианты увеличить в а раз, то средняя арифметическая нового ряда увеличится в а раз.
Пусть , тогда .
5. Если частоты (веса) всех вариантов пропорционально изменить, т.е. увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая нового ряда от этого не изменится. Пусть f уменьшим в к раз. Тогда: .
Пользуясь различными свойствами средней можно вычислить среднюю арифметическую по данным вариационного ряда намного проще, способом моментов.
Нужно: 1) вычесть из всех вариант постоянное число А (серединная варианта или варианта с наибольшей частотой А=12,5); 2) разделить варианты на постоянное число i (на величину интервала i =5, если нечётное число интервалов, при чётном числе интервалов i равен половине величины интервала); 3) частоты выразить в процентах;
Стаж, лет, х
Число работников,
ƒ в % к итогу
Произведение вариант на частоты,
х1ƒ
2,5
35/200∙100=17,5
-35
7,5
75/200∙100=37,5
-37,5
12,5
50/200∙100=25
17,5
22/200∙100=11
+11
22,5
18/200∙100=9
+18
Итого
-
-35-37,5+11+18= -43,5
3) умножить новые варианты х1 на новые частоты ƒ (%). Находим среднюю арифметическую из этих новых вариант. Она называется моментом первого порядка:
В примере . Чтобы определить величину средней арифметической, нужно величину момента первого порядка умножить на величину интервала, на который делили варианты (i), и прибавить к полученному произведению величину варианты (А), которую вычитали:
= ∙ i + А.
В примере = -0,435 ∙ 5 + 12,5 = 10,325 лет.
Вычисление средней арифметической способом моментов применяется в рядах с равными интервалами.
Средняя гармоническая
Как говорилось ранее, средняя гармоническая применяется тогда, когда объём варьирующего признака образуется как сумма обратных значений отдельных вариант, т.е. когда известны варианты признака (х) и произведения вариант на их частоту (хƒ= w), а непосредственно частота признака неизвестна. Средняя гармоническая является величиной, обратной средней арифметической.
Средняя гармоническая простая: .
Пример. Определить среднюю скорость движения автомобиля, если известно, что три машины прошли один путь, при этом одна машина двигалась со скоростью 60 км/ч, вторая – 70 км/ч, третья – 100 км/ч.
км/ч.
Средняя гармоническая взвешенная: .
Пример. Допустим, для того чтобы рассчитать среднюю зарплату по трём предприятиям, мы знаем фонд заработной платы по каждому предприятию и численность работников.
Фонд заработной платы (w) определяется как произведение средней зарплаты (x) на численность работников (f): w = x ∙ f, f = w / x.
№ предприятия
ФЗП, w = x ∙ f
Численность, f = w / x
Итого
Пример. Средний сбор картофеля за смену одним работником (xi) и общий объём собранной за смену продукции (xf) представлен следующими данными:
№ бригады
Сбор картофеля, кг
одним работником
всей бригадой
Всего
-
Величина среднего сбора картофеля одним работником по всем бригадам вместе составит:
кг.
Средняя геометрическая применяется для анализа средних показателей динамики.
Пример.Известны данные о темпах роста производства продукции:
Год
Темп роста
1,24
1,39
1,31
1,15
При расчёте по формуле , среднегодовой темп роста равен: