Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Средняя арифметическая



Средняя арифметическая – основной вид средних величин. Она может быть простой и взвешенной.

Средняя арифметическая простая исчисляется путем деления суммы значений признака (вариант) на число значений:

где – средняя арифметическая;

– отдельные значения признака;

– число значений признака.

Пример. Студент сдал 3 экзамена и получил следующие оценки: 6, 7, 8. Рассчитаем средний балл по формуле средней арифметической простой: (6+7+8)/3 = 21/3 = 7.

Таким образом, средняя арифметическая простая применяется в случаях, если каждое индивидуальное значение признака встречается один раз или одинаковое число раз.

Если данные представлены в виде дискретного ряда распределения, то расчет средней производится по формуле средней арифметической взвешенной: ,

где х – значение признака (варианты);

f – частота повторения соответствующего признака (веса); количество величин с одинаковым значением X.

Пример. Студент сдал 5 экзаменов и получил следующие оценки: 7, 7, 8, 9 и 9. Рассчитаем средний балл по формуле средней арифметической взвешенной: (7∙2+8∙1+9∙2)/5 = 40/5 = 8.

Таким образом, средняя арифметическая взвешенная применяется в случаях, если значения признака (варианты) встречаются неодинаковое число раз.

Простая средняя считается по не сгруппированным данным, взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным.

При расчёте средней арифметической по интервальному ряду (если значения X заданы в виде интервалов) для выполнения необходимых вычислений необходимо перейти к дискретному ряду. Для расчетов используют середины интервалов X, которые определяются как полусумма верхней и нижней границ интервала. А если у интервала X остутствует нижнияя или верхняя граница (открытый интервал), то для ее нахождения применяют размах (разность между верхней и нижней границей) соседнего интервала X.

,

где ;

– нижняя граница интервала;

– верхняя граница интервала.

Пример. Имеются данные о распределении рабочих предприятия по стажу работы:

Стаж, лет, х Число работников, ƒ Среднее значение интервала, х' Произведение вариант на частоты, х'ƒ
До 5 (0+5)/2=2,5 87,5
5-10 (5+10)/2=7,5 562,5
10-15 (10+15)/2=12,5
15-20 (15+20)/2=17,5
20 и выше (20+25)/2=22,5
Итого -

= 2065:200 = 10,325 лет

Свойства средней арифметической:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты:

∙Σƒ =Σхƒ.

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака (вариант) от средней арифметической равняется нулю:

; .

3. Если все варианты уменьшить или увеличить на какое-либо число, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится или увеличится на столько же.

Уменьшим все варианты х на а, т.е. . Тогда:

.

Увеличим все варианты х на а, т.е. . Тогда:

 

4. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в а раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в а раз:

Если все варианты уменьшить в а раз, то средняя арифметическая нового ряда уменьшится в а раз.

Пусть , тогда .

Если все варианты увеличить в а раз, то средняя арифметическая нового ряда увеличится в а раз.

Пусть , тогда .

5. Если частоты (веса) всех вариантов пропорционально изменить, т.е. увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая нового ряда от этого не изменится. Пусть f уменьшим в к раз. Тогда: .

Пользуясь различными свойствами средней можно вычислить среднюю арифметическую по данным вариационного ряда намного проще, способом моментов.

Нужно: 1) вычесть из всех вариант постоянное число А (серединная варианта или варианта с наибольшей частотой А=12,5); 2) разделить варианты на постоянное число i (на величину интервала i =5, если нечётное число интервалов, при чётном числе интервалов i равен половине величины интервала); 3) частоты выразить в процентах;

Стаж, лет, х Число работников, ƒ в % к итогу Произведение вариант на частоты, х1ƒ
2,5 35/200∙100=17,5 -35
7,5 75/200∙100=37,5 -37,5
12,5 50/200∙100=25
17,5 22/200∙100=11 +11
22,5 18/200∙100=9 +18
Итого - -35-37,5+11+18= -43,5

3) умножить новые варианты х1 на новые частоты ƒ (%). Находим среднюю арифметическую из этих новых вариант. Она называется моментом первого порядка:

В примере . Чтобы определить величину средней арифметической, нужно величину момента первого порядка умножить на величину интервала, на который делили варианты (i), и прибавить к полученному произведению величину варианты (А), которую вычитали:

= i + А.

В примере = -0,435 ∙ 5 + 12,5 = 10,325 лет.

Вычисление средней арифметической способом моментов применяется в рядах с равными интервалами.

Средняя гармоническая

Как говорилось ранее, средняя гармоническая применяется тогда, когда объём варьирующего признака образуется как сумма обратных значений отдельных вариант, т.е. когда известны варианты признака (х) и произведения вариант на их частоту (хƒ= w), а непосредственно частота признака неизвестна. Средняя гармоническая является величиной, обратной средней арифметической.

Средняя гармоническая простая: .

Пример. Определить среднюю скорость движения автомобиля, если известно, что три машины прошли один путь, при этом одна машина двигалась со скоростью 60 км/ч, вторая – 70 км/ч, третья – 100 км/ч.

км/ч.

Средняя гармоническая взвешенная: .

Пример. Допустим, для того чтобы рассчитать среднюю зарплату по трём предприятиям, мы знаем фонд заработной платы по каждому предприятию и численность работников.

Фонд заработной платы (w) определяется как произведение средней зарплаты (x) на численность работников (f): w = x ∙ f, f = w / x.

№ предприятия ФЗП, w = x ∙ f Численность, f = w / x
Итого

Пример. Средний сбор картофеля за смену одним работником (xi) и общий объём собранной за смену продукции (xf) представлен следующими данными:

№ бригады Сбор картофеля, кг
одним работником всей бригадой
Всего -

Величина среднего сбора картофеля одним работником по всем бригадам вместе составит:

кг.

Средняя геометрическая применяется для анализа средних показателей динамики.

Пример.Известны данные о темпах роста производства продукции:

Год
Темп роста 1,24 1,39 1,31 1,15

При расчёте по формуле , среднегодовой темп роста равен:

=1,27.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.