Структура матрицы жёсткости конечных элементов

Для треугольного конечного элемента с шестью степенями свободыматрица жёсткости имеет размер 6х6. Её элемент является реактивным усилием в -й узловой связи, вызванным единичным перемещением -й узловой связи. На рис. 7.4 показаны положительные направления шести перемещений и шести реакций , а также реакции в связях, возникающие от горизонтальногоединичного перемещения третьего узла (перемещения по направлению пятой степени свободы). Эти реакции образуют пятый столбец матрицы Перемещения и реакции определены в местной координатной системе xy, которая назначается удобным образом.

Рис. 7.4. Узловые перемещения и опорные реакции треугольного конечного элемента плоской задачи в местной системе координат

Матрицу жёсткости можно разбить на блоки, соответствующие трём узлам КЭ:

.

Отдельный блок размером 2´2 содержит реакции в связях го узла от единичных перемещений -го узла.

Матрица симметрична относительно главной диагонали, поэтому .

В дискретной схеме конечные элементы могут ориентироваться различным образом, но для дальнейших вычислений необходима единая, общая система координат XY, в которой будутопределяться перемещения узлов (рис. 7.5). Эти перемещения обозначают буквами Z и нумеруют. Для конкретного КЭ нумерация будет начинаться с произвольного числа, на рис. 7.5 нумерацияусловно начата с единицы.

Матрицы жёсткости и их блоки, составленные в общей системе координат, обозначают буквой без штриха.

Переход от местной к общей системе координат для отдельного блока выполняют по формуле

, (7.12)

где – матрица преобразования координат для КЭ, имеющаявид

. (7.13)

Рис. 7.5. Узловые перемещения и опорные реакции треугольного конечного элемента плоской задачи в общей системе координат

Матрицу жёсткости КЭ в общей системе координат можно записать в такой форме:

K (7.14)

Поиск по сайту: