Внешние нагрузки и напряжения

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

С ОСНОВАМИ ПЛАСТИЧНОСТИ
И ПОЛЗУЧЕСТИ

Рекомендовано Методическим советом по качеству
образовательной деятельности ДВГУПС в качестве учебного пособия
для студентов, обучающихся специальности 08.05.01 «Строительство
уникальных зданий и сооружений» (специализация «Строительство
высотных и большепролетных зданий и сооружений»)

Хабаровск

Издательство ДВГУПС

УДК 539.3/.8(075.8)

ББК H112/020/2z73

М 641

Рецензенты:

Кафедра «Механика деформируемого твердого тела»

Тихоокеанского государственного университета
(заведующий кафедрой доктор технических наук
А.Д. Ловцов)

Главный инженер КГУП «Хабаровскгражданпроект»,

кандидат технических наук, доцент

А.И. Шишкин

Учебное пособие соответствует ФГОС ВОпо специальности 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений» специализации «Строительство высотных и большепролетных зданий и сооружений».

Учебное пособие разработано в целях организации самостоятельной работы студентов по изучению дисциплины, а также для углубления, расширения и лучшего усвоения материала, изложенного в учебнике.

Изложены основные вопросы теории упругости, пластичности и ползучести. Особое внимание уделено вариационной формулировке задач и приближенным методам их решения, включая метод конечных элементов с тем, чтобы студент получил базовые знания о методах расчета элементов строительных конструкций, применяемых в современных программных комплексах.

По каждому разделу приведены вопросы, направленные на самоконтроль знаний. В приложении приводятся сведения об ученых в области механики твердого деформируемого тела (именной указатель).

Предназначено для студентов 3-го курса всех форм обучения, изучающих дисциплину «Теория упругости с основами пластичности и ползучести».

УДК 539.3/.8(075.8)

ББК H112/020/2z73

© ДВГУПС, 2014

ВВЕДЕНИЕ

При изучении дисциплины «Сопротивление материалов» студенты знакомятся с расчётами на прочность, жёсткость и устойчивость стержней и простых стержневых систем, а также с определёнными ограничениями и гипотезами, которые позволяют получить простые формулы для инженерных расчётов.

Теория упругости даёт возможность оценить точность решений, полученных методами сопротивления материалов, указать границы их применения, а также изучить напряжённо-деформированное состояниеобъектов, не рассматриваемых в курсе «Сопротивление материалов».

Деформирование элементов конструкций за пределами упругости и с учётом изменчивости свойств материалов во времени рассматривается в теории пластичности и в теории ползучести.

Теория упругости с основами пластичности и ползучести изучаетсястудентами специализации «Строительство высотных и большепролётных зданий и сооружений» параллельно с курсом строительной механики.

Поскольку для указанной специализации предусмотрена самостоятельнаядисциплина «Теория расчёта пластин и оболочек», то вопросы, касающиеся этих объектов, в настоящем учебном пособии не рассматриваются.

Здесь изложены такие разделы курса, которые позволят студентам расширить знания о напряжённом и деформированном состояниях стержней, полученные при изучении курса «Сопротивление материалов», ознакомиться с задачамитеории упругости и методами их решения. Особое внимание уделено вариационной формулировке задач и приближённым методам их решения, включая метод конечных элементов.

Практическую значимость имеют разделы, посвящённые основам пластичности и ползучести, которые направлены на получение студентами базовых знаний о методах расчёта элементов строительных конструкций, применяемых в современных программных комплексах.

Более полную информацию студенты могут получить в учебной литературе [1–3].

Теории упругости, пластичности и ползучести входят в состав механики деформируемого твёрдого тела, в создание, развитие и совершенствование которой внесли вклад многие мировые учёные.Краткие сведения о них приведены в прил.1.

1. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ ТЕЛА

1.1. Введение в курс теории упругости
с основами пластичности и ползучести

Теория упругости является разделом механики твёрдого деформируемого тела, в котором изучаются вызванныев теле внешнимивоздействиямидеформации и возникающие при этом напряжения. Подобные задачи применительно к стержням рассматриваются в сопротивлении материалов. В теории упругости поведение тела рассматривается более углублённо, с применением более сложного математического аппарата. Это позволяет решать задачи, которые не могут быть решены методами сопротивления материалов.

Решения, полученные в теории упругости для стержней, позволяют оценить границы применения формул сопротивления материалов. Методы теории упругости дают возможность рассчитывать такие объекты, как стержни, пластины, оболочки, массивы, учитывать податливость основания сооружения (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Формы элементов конструкций: а – прямой стержень;
б – кривой брус; в – пластина; г– оболочка; д – массив

Различают математическую и прикладную теорию упругости. В последней вводятся дополнительные допущения и применяются приближённые (численные) методы расчёта. Современные вычислительные средства (ЭВМ и программные комплексы) позволяют решать весьма сложные задачи в разных отраслях техники.

В теории упругости принимаются следующие допущения.

§ Материал тела сплошной (не учитывается фактическая структура материала – кристаллическая, волокнистая и т.д., любой объём тела не содержит пустот).

§ Материал тела однородный (механические свойства материала одинаковы во всех точках тела).

§ Материал тела изотропный, его механические свойства в любой точке одинаковы по всем направлениям.

§ Относительные линейные и угловые деформации в точке тела малы. Поэтому абсолютные размеры тела под внешними воздействиями существенно не изменяются. Перемещения точек тела оказываются малыми по сравнению с размерами тела.

§ Материал тела считается идеально упругим и линейно дефор­ми­руемым (выполняется закон Гука о прямой пропорциональной зависимости между напряжениями и относительными деформациями).

Рис. 1.2. На левом участке стержня распределение напряжений не зависит от способа приложения нагрузки

При решении многих задач используется принцип Сен-Венана:в точ­кахтвёр­дого тела, достаточно удалённых отместа приложения нагрузок, напряжениямало за­ви­сят от способа их распределения(рис.1.2).

Теория пластичности рассматривает такие тела, материал которых не под­чи­няется законам упругости или с самого начала приложения внешних нагрузок, или с некоторого уровня нагрузок.

Теория ползучести рассматривает изменения во времени деформаций и напряжений твёрдого тела, которые образовались после некоторого начального нагружения.

Внешние нагрузки и напряжения

Внешние нагрузки, действующие на твёрдое тело, разделяют на два вида: поверхностные и объёмные (рис. 1.3). Интенсивностиповерхностных нагрузокобозначают ивыражают в Н/м²илив кН/м². Интенсивности объёмных нагрузок, к которым относят собственный вес, силы инерции, обозначают X, Y, Z и выражают в Н/м³ или в кН/м³. Проекцию интенсивности нагрузки считают положительной, если её направление совпадает с направлением соответствующей оси координат.

Рис. 1.3. Поверхностные и объёмные нагрузки

Если из тела вырежем элементарный параллелепипед с рёбрами бесконечно малой длины dx, dy, dz, то на его гранях в общем случае будут действовать нормальныеsи касательныеtнапряжения, направленные вдоль координатных осей (рис.1.4).Нормальные напряжения снабжаются индексом, указывающим, параллельно какой оси направлено напряжение. Касательное напряжение имеет два индекса. Первый указывает, перпендикулярно какой координатной оси расположена площадка с данным напряжением, а второй обозначает ось, параллельно которой направлено напряжение. Нормальные напряжения считаются положительными при растяжении и отрицательными при сжатии. Правило знаков для касательных напряжений: если внешняя нормаль к площадке имеет положительное (отрицательное) направление, то положительное напряжение направлено в положительном (отрицательном) направлении соответствующей оси координат. Все напряжения на рис. 1.2 показаны положительными.

Напряжения измеряют в Н/м² (Па) или в МН/м² (МПа).

Совокупность напряжений на всех гранях параллелепипеда образует тензор напряжений

Справедлив закон парности касательных напряжений:

.

Рис. 1.5. Условия на контуре тела

Между внешними нагрузками и напряжениями возле границы тела из условий равновесия элементарного тетраэдра получаются следующие соотношения, называемые условиями на контуре тела,или статическими граничными условиями:

(1.1)

Рис. 1.6. Главныеплощадки и главные напряжения

Главные напряжения

Доказано, что вокруг произвольной точки твёрдого тела можно выделить такой беско­неч­но малый параллелепипед, на гранях которого будут действовать только нормальные напряжения, а касательные напряжения отсутст­вовать. Такие площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на них называются главными напряжениями(рис.1.6).

Величины главных напряжений σнаходят из условия

.

Раскрываяопределитель, получаем характеристическое уравнение

, (1.2)

где ; ;

.

Полученное кубическое уравнение имеет три корня, причем в рассматриваемом случае все они действительные. Корни (главные напряжения) нумеруют в порядке убывания их значений: .

Коэффициенты характеристического уравнения не изменяют своих значений при изменении системы координат и являются инвариантами (не изменяющимися величинами) тензора напряжений по отношению к повороту осей. Коэффициенты называют соответственно первым, вторым и третьим инвариантами тензора напряжений.

При известных главных напряжениях получаем тензор напряжений и его инварианты в следующем виде

Для определения направлений главных напряжений необходимо найти направляющие косинусы решением системы уравнений

Подставив последовательно значения корней в два уравнения этой системы и добавив к ним условие нормировки , можно решить систему нелинейных уравнений и получить направляющие косинусы главных площадок (i = 1, 2, 3).

Чтобы избежать сложностей решения системы нелинейных уравнений, рассмотрим систему вспомогательных уравнений:

Для каждого (i =1, 2, 3) назначим X=1,отбросим одно из уравнений, из двухоставшихся уравнений найдём Y и Z,после чего направляющие косинусывычислим по формулам:

Отложив величины направляющих косинусов на осях координат, получим направление главного напряжения (рис. 1.7). Направления трёх главных напряжений будут взаимно ортогональны.

Тензор напряжений можно представить в виде суммы двух составляющих – шарового тензора напряжений и девиатора напряжений

Рис. 1.7. Направление главного напряжения

где ;

;

.

Первый инвариант шарового тензора напряжений совпадает с первым инвариантом тензора напряжений и соответствует случаю всестороннего равномерного растяжения или сжатия в точке тела.

Второй инвариант девиатора напряжений через главные напряжения имеет вид: .

В теории пластичности применяют понятия«интенсивность касательных напряжений » и «интенсивность нормальных напряжений », которые формально выражаются через :

; .

Поиск по сайту: