Теорема Коши о конечных приращениях

С фамилиями

Неравенство Бернулли:

Если , то:

, для всех

Бином Ньютона:

формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид:

, где

Лемма Больцана-Вейерштрасса

Из всякой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Из этой леммы вытекает, что всякая ограниченная числовая последовательность имеет хотя бы одну предельную точку.

Теорема (Критерий Коши)

Для того чтобы числовая последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной

Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии не более чем заданное.

Предел числовой последовательности по Гейне:

Какую бы последовательность не пробегала независимая переменная соответствующая последовательность значений функции стремится к

Вопрос о пределе функции сводится к вопросу о пределе двух числовых последовательностей.

Предел числовой последовательности на языке ", по Коши

Принцип сходимости (критерий Коши) для функции.

Т. Для того, чтобы предельное значение функции f при существовало, необходимо и достаточно, в случае,

если числа, выполнялось условие:

(*)

если символ ∞:

(1)

(2) :

Больцано-Коши (Теорема о промежуточных значениях)

Если функция непрерывна на некотором промежутке и в двух точках этого промежутка и принимает не равные значения, то она принимает и все значения заключенные между ними. Для определенности положим, что

Первая теорема Вейерштрасса (Теорема о глобальной ограниченности)

Вторая теорема Вейерштрасса

(Теорема о достижении наименьших и наибольших значений)

Если , то она достигает на этом отрезке свое наименьшее и наибольшее значение. Это означает, что

Теорема Кантора

– это достаточные условия при которых равномерная функция является равномерно непрерывной.

Если функция непрерывна на отрезке , т.е непрерывна на ограниченном, замкнутом множестве, то она равномерно непрерывна на этом множестве. Другими словами, если функция непрерывна на компакте, то она равномерно непрерывна на этом компакте.

Лемма Гейне-Бореля

Из всякой бесконечной системы интервалов, покрывающей отрезок числовой прямой, можно выбрать конечную подсистему, также покрывающую этот отрезок.

ФормулаЛейбница

Формула Лейбница для n-ой производной произведения двух функций — обобщение правила дифференцирования произведения (и отношения) двух функций на случай n-кратного дифференцирования.

Пусть функции f(z) и g(z) — n раз дифференцируемые функции, тогда

где

Теорема Тейлора.

Если функция имеет в некоторой окрестности точки a производную порядка, то между точками a и x найдется точка ¥, такая что:

где

Правило Лопиталя.

Условия:

1. или ;

2. g(x) и f(x) дифференцируемы в (a);

3. в (a);

4. ,

тогда .

Теорема Ферма

Если функция f во внутренней точке x0∈Д имеет локальный экстремум и дифференцируема в ней, то f′(x0)=0.

Точка x называется внутренней точкой множества Д, если она вxодит в это множество с некоторой своей окрестностью.

Теорема Ролля

Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Теорема Лагра́нжа

если функция f непрерывна на отрезке [a;b] идифференцируема в интервале (a;b), то найдётся такая точка , что

.

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке [a;b] найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Теорема Коши о конечных приращениях

Если f, g непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b), то существует xÎ(a,b): g¢(x)(f(b) - f(a)) = f¢(x)(g(b) - g(a)).

Поиск по сайту: