Применение метода к решению невероятностных задач

1) Найти , исходя из вероятностных представлений.

Решение:

Рассмотрим интеграл вида

, (17.1),

явно выделив в качестве множителя в подынтегральном выражении единицу, которая будет играть роль плотности распределения:

.

Но тогда выражение (17.1) будет математическим ожиданием случайной величины х, равномерно распределенной в интервале :

.

Математическое ожидание можно оценить средним арифметическим наблюдаемых значений случайной величины:

.

Возьмем (малая выборка) и воспользуемся телефонным справочником для получения случайных чисел (берем последние цифры). Так как у нас интервал , то удовлетворять этому условию будут числа : 0,0; 0,1; 0,2; …; 0,9.

Итак, просматривая последние цифры 16 номеров телефонов, выпишем их последовательность, например, полученную в нашем эксперименте:

6; 9; 3; 1; 5; 3; 8; 4; 7; 6; 0; 2; 4; 7; 8; 9.

Так как каждое случайное число должно принадлежать интервалу , то

(Ответ записан с точностью до одной значащей цифры)

Точное значение этого интеграла равно 0,5, так как

= =0,5.

2) Исходя из вероятностных представлений, вычислить число π.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной единице, и четверть круга в нем (рисунок 17.2). Тогда геометрическая вероятность попадания случайной величины в четверть круга, площадь которого будет , где и — число случайных точек попадания в четверть круга и в квадрат соответственно. Отсюда . Как и при решении предыдущей задачи для определения и используем те же случайные числа, объединив их в пары:

(0,6; 0,9), (0,3; 0,1), (0,5; 0,3), (0,8; 0,4),

(0,7; 0,6), (0; 0,2), (0,4; 0,7), (0,8; 0,9).

В нашем эксперименте , . Следовательно, .

Рисунок 17.2 – Пояснение к экспериментальному определению числа .

Не менее полезно проведение натурных экспериментов, которые позволяют убедиться в том, что модельные результаты согласуются с данными опытов. Сравним, например вероятность выпадения герба и цифры при подбрасывании двух монет с её эмпирическим аналогом – относительной частотой, определяемой экспериментально. Теоретическая, идеализированная частота, т.е. вероятность, в этом случае равна 0,5. Экспериментальное решение можно получить так: каждый слушатель из группы, например в 25 человек, десять раз подбрасывает две монеты, и регистрирует, сколько раз выпали герб и цифра. Всего, таким образом, будет проведено 250 опытов, примерно в половине которых выпадет герб и цифра, а потому относительная частота указанного события 0,5.

В этой связи заметим, что Даламбер, как пишут в некоторых книгах, считал: при подбрасывании двух монет три события – выпадение двух гербов, двух цифр, а также одного герба и одной цифры – равновозможны. Если бы это было так, то относительная частота выпадения герба и цифры равнялась бы примерно . Но как было отмечено выше, относительная частота выпадения герба и цифры, получаемая на основе опыта близка к 0,5. Таким образом, гипотеза Даламбера неверна. (Правда, трудно поверить, чтобы он мог её высказать).

О сущности метода

Сущность метода Монте–Карло состоит в том, что искомая величина представляется в виде математического ожидания некоторой случайной величины, математическое ожидание которой заменяется средним арифметическим реализаций этой случайной величины при большом числе испытаний, обычно проводимых на ЭВМ. При этом оценка погрешности метода сводится к интервальной оценке погрешности математического ожидания.

Особенностью метода является простая структура вычислительного алгоритма, в соответствии с которым составляется программа для проведения одного испытания, которое затем многократно повторяется. Именно поэтому метод Монте-Карло называют еще и методом статистических испытаний.

Есть одна наука, без которой невозможна

никакая другая. Это математика. Ее понятия,

представления и символы служат тем языком, на

котором говорят, пишут и думают другие науки.

С.Л. Соболев

§ 18. ПРОСТЕЙШИЕ ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ХИМИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Как уже отмечалось, математика проникла во все области знания. Давно стали классическими такие научные и учебные дисциплины как математическая физика и математическая статистика. В ХХ веке появилось множество новых названий: математическая экономика, математическая лингвистика, математическая психология и т.д. И какую бы науку ни взять, теперь вряд ли кому-нибудь покажется невозможным присоединение к её наименованию эпитета «математическая».

Что же касается «Математической химии», то такое словосочетание, по-видимому, впервые применено в работе М.В. Ломоносова «Элементы математической химии» (1741г.).

Теперь математика применяется не только как средство решения задач, но и, что ещё важнее, как способ формулирования химических законов и закономерностей.

Поиск по сайту: