Найдем расстояние между параллельными прямыми, заданными каноническими уравнениями
где - произвольные точки на прямых и соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны:
Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и
и может быть найдено по формуле
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми
называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.
Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями
где . - произвольные точки на прямых и соответственно.
Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда
построенного на векторах
, т.е.
где - смешанное и векторное произведения векторов.
Как показано выше, прямые и скрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторы некомпланарные, т.е.
Отсюда следует, что вторая и третья строки не пропорциональны. Поэтому векторы неколлинеарные, т.е , и знаменатель в правой части отличен от нуля.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ
Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина острого угла между прямыми
и
вычисляется по формуле
Легко получить условия параллельности и перпендикулярности прямых, как соответствующие условия для их направляющих векторов
Пример 5.Найти угол между прямыми и
.
Решение. Угол между прямыми в пространстве численно равен углу между их направляющими векторами. То есть для нахождения угла между прямыми и надо найти их направляющие векторы. Направляющий вектор прямой можно сразу записать из ее канонического уравнения: ={-1; 4; 5} .
Направляющий вектор прямой должен быть параллелен самой прямой, а, следовательно, обеим плоскостям из общего ее уравнения. Вектор параллелен плоскости, если перпендикулярен вектору нормали этой плоскости, координаты вектора нормали – коэффициенты при неизвестных в уравнении плоскости. Значит, ={1; - 1; 3} и ={2; 1; -1} . Так как перпендикулярен двум векторам, то в его качестве мы можем рассмотреть векторное произведение
Теперь направляющие векторы обеих прямых нам известны – ={-4; 7; 3}, ={-1; 4; 5} , и можно вычислить угол между ними: