Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Взаимное расположение прямых в пространстве



Возможны четыре различных случая распо­ложения двух прямых в пространстве:

- прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

- прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

- прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

- прямые совпадают.

Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, за­данных каноническими уравнениями

где - точки, принадлежащие прямым и соответственно, а - направляющие векторы.

Обозначим через

вектор, соединяющий заданные точки.

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых и соответствуют следующие признаки:

-прямые и скрещивающиеся <=>векторы не
компланарны;

-прямые и пересекаются <=> векторы компланарны, а векторы не коллинеарны

--прямые и параллельные векторы коллинеарны, а
векторы не коллинеарны;

-прямые и совпадают векторы коллинеарны.

Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение век­торов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:

Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности

Поэтому:

-прямые и скрещивающиеся определитель отличен от нуля;

-прямые и _, пересекаются . определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, ;

-прямые и параллельные вторая и третья строки определи­
теля пропорциональны, а первые две строки не пропорциональны;

- прямые и , совпадают все строки определителя пропорцио-

нальны.

Пример 6.Выяснить, лежат ли в одной плоскости прямые

Решение. Прямые лежат в одной плоскости, если их направляющие век­торы и вектор, соединяющий точки на этих прямых, компланарны (их сме­шанное произведение равно нулю).

Выпишем из уравнений и координаты направляющих векторов , и точек Прямая задана параметрически, поэтому координаты – это коэффициенты при параметре а координаты точки – свободные члены, то есть ={3; 1; –1}, M1(–2; 1; 2). Прямая задана канони­чески, поэтому координаты – знаменатели отношений, а координаты точ­ки – свободные члены числителей с минусом, то есть

={2; –1; 1}, M2(1; –1; 0).

Координаты вектора есть разности координат то есть

(3; –2; –2). Найдем смешанное произведение векторов

Смешанное произ­ведение векторов не ноль, следовательно, эти векторы не ком­планарны, и прямые не лежат в одной плоскости.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.