Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Прямая в пространстве.

Уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору.

Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащий или параллельный ей. Пусть в координатном пространстве заданы:

а) точка ;

б) ненулевой вектор

Требуется составить уравнение прямой,
коллинеарной вектору и проходящей через точку

Решение. Выберем на прямой произволь­ную текущую точку

Точка принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Это характеристическое свойство , определяющее нашу прямую.Запишем условие коллинеарности: , где - некоторое действительное число (параметр).Обозначим - радиус-векторы точек и Учитывая,что получим векторное параметрическое уравнение прямой:

где - направляющий вектор прямой, а - радиус-вектор точки, принад­лежащей прямой.

Координатная форма записи уравнения дает параметри­ческие уравнения прямой

где -- координаты направляющего вектора прямой. Параметр в уравнениях имеет следующий геометрический смысл: величина пропорциональна расстоянию от начальной точки до точки Физический смысл параметра в параметрических уравнениях - это время при равномерном и прямолинейном движении точки по прямой. При точка совпадает с начальной точкой при возрастании движение происходит внаправлении, определяемым направляющим вектором .

Выразим параметр из каждого уравнения системы : : а затем исключим этот параметр:

Уравнения называют каноническими уравнениями прямойв пространстве. В этих уравнениях коэффициенты не равны нулю одновременно, так как это координаты направляю щего вектора прямой.

Замечания. 1.Если один или два из трех знаменателей дробей равны нулю, то считается, что соответствующий числитель дроби равен нулю. Например:

а) канонические уравнения - -это уравнения прямой, параллельной оси аппликат;

б)канонические уравнения - это уравнение

прямой,параллельной координатной плоскости

2. Направляющий вектор прямой определяется неоднозначно.На­пример, любой ненулевой вектор , где !, также является направляющим вектором для той же прямой.

Пример 1.

Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(-1,0,2) параллельно вектору = {0,0,1}. Решение.

Согласно формуле имеем

. Нули в знаменателях в данном случае не означают деление на нуль.

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть в координатном пространстве заданы две точки

и . Требуется составить уравнение прямой, проходящей через заданные точки.

Решение.Уравнение можно получить из канонических уравнений, выбирая в качестве направляющего вектора вектор

, т.е. подставляя

приходим к уравнению прямой, проходящей через две точки M₀(x₀,y₀,z₀) и .:

Пример2. Найти уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение: 1)Возьмем в качестве фиксированной точки точку , тогда направляющий вектор определится как .

2)Тогда канонические уравнения прямой запишутся как .

Поиск по сайту: