Пример Метод собственных значений

Частные решения неоднородной системы

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.

, ,

1)Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:



– кратные действительные корни
Общее решение:

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (предварительно смотрим Раздел III справочной таблицы).

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

Составим и решим систему:

Таким образом: .

3) Общее решение неоднородного уравнения:

4) Найдем частное решение, соответствующее заданным начальным условиям:

Ответ: частное решение:

Способы построения частного решения неоднородной системы

Найти частное решение неоднородного уравнения, соответствующее заданным начальным условиям.

, ,

1)Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:



– кратные действительные корни
Общее решение:

2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (предварительно смотрим Раздел III справочной таблицы).

Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:

Составим и решим систему:

Таким образом: .

3) Общее решение неоднородного уравнения:

4) Найдем частное решение, соответствующее заданным начальным условиям:

Ответ: частное решение:

Фазовое пространство и фазовые траектории автономной системы. Свойства решений и фазовых траекторий.

Автономные системы дифференциальных уравнений

x˙=f(x,y)

{ (1)

y˙=g(x,y)

Траекторией (или фазовой кривой) системы (1) называется кривая, параметрически задающаяся как (x,y)=(x(t),y(t)), где (x(t),y(t)) — некоторое решение системы (1).

Пространство R^2 называется фазовым пространством системы (1). Его точки – состояние системы.

Фазовые траектории являются проекциями интегральных кривых на плоскость R^2.

Свойства решений и фазовых траекторий:

1) фазовые траектории либо не пересекаются, либо совпадают

2) точка х=а (принадлежит R^2) такая, что f(a)=0 называется положением равновесия системы (1)

3) система (1)может иметь фазовые траектории только следующих типов:

гладкие кривые без самопересечений

замкнутые гладкие кривые(циклы)

точки (положения равновесия)

Циклы соответствуют периодическим решениям, а точки – положениям равновесия.

Поиск по сайту: