Выразим волновой вектор через длину волны электрона
и запишем условие, при котором функция E(k) терпит разрыв:
или . (4.16)
Последнее выражение представляет собой условие Вульфа — Брэгга для электронной волны, падающей на решетку перпендикулярно атомным плоскостям.
При выполнении этого условия функция Блоха представляет уже не бегущую, а стоячую волну, так как электрон с таким волновым вектором при его движении (в реальном пространстве) испытывает брэгговское отражение.
Падающая и отраженная волны могут складываться двумя способами, образуя симметричную и антисимметричную комбинации:
(4.17)
( 4.18)
Выражения (4.17) и (4.18) записаны для значений волновых векторов k= / .
Волновая функция не изменяется при замене х на - х, a меняет знак.
Функция является мнимой, однако плотность электрического заряда, связанная с волновой функцией в этом случае, так же как и для представляет собой вещественную отрицательную величину.
Волновым функциям и 2 соответствуют разные энергии.
· Решению , отвечает меньшая энергия, которая соответствует верхней границе первой зоны (точка А на рис. 4.7),
· а решению - энергия, соответствующая нижней границе второй зоны (точка ).
· При k< /a электрон обладает энергиями меньшими, чем ,
· а при k> a - энергиями, большими, чем .
· В интервале от до нет ни одного собственного значения энергии электрона, т. е. эта область представляет собой запрещенную зону.
Напомним, что, рассматривая колебания цепочки атомов, мы также пришли к выводу, что при достижении волновым вектором границы зоны Бриллюэна, т. е. k = / , наблюдается отражение упругих и образование стоячих волн. Эти стоячие волны являются результатом сложения двух бегущих волн, распространяющихся в противоположных направлениях.
В трехмерном случае зонная структура здесь может быть значительно сложнее, чем в рассмотренной выше одномерной модели. Зависимость Е(k) в трехмерном кристалле может быть различна для разных направлений в зоне Бриллюэна. Это связано с тем, что трехмерный потенциал V(r), зависящий от структуры кристалла, в различных направлениях не одинаков. Следствием этого может быть перекрытие разрешенных зон.
Так, например, запрещенная зона в одном направлении может совпадать с разрешенной зоной в другом направлении. Перекрытие разрешенных зон нельзя получить в одномерном случае.