Классовая основа различных видов и школ материализма 17 страница

как логику сочетания атомов, к-рое он обозначил как причинность. Тем самым логика движения атомов стала впервые в философии М. познания мира. Благодаря этому различение «мира по истине» и «мира по мнению» получило у Демокрита мотодологи­ческий смысл. Тем не менее философская теория Де­мокрита как и его М. оставались еще в рамках натурфилософии, и вопрос о познавательном отно­шении человека к миру здесь не ставился как фило­софская проблема.

Сократ поставил в центр филос. проблематики во­прос о всеобщем как специфич. категории знания. Платон, придав взглядам Сократа форму филос. сис­темы путем создания теории идей, или идеальных сущ­ностей, истолковал сократич. М. как путь движения мышления от низших понятий к высшим, различив два рода знания: разумное познание сущности и мне­ние. Первое в свою очередь разделяется на научное знание, исследующее саму сущность, т. е. идеальные первоначала, и познание посредством рассуждения. Последнее принимает идеальные предметы за предпо­ложения и делает из них выводы, не восходя к перво­началам (так обстоит дело, напр., в геометрии). Т. о., Платон понял, что научное познание означает позна­ние сущности предмета. Однако он противопоставил изучение сущности как самостоят, «предмета» из­учению конкретно-материальных вещей, как, с его идеалистич. т. зр., чего-то ничтожного. Поэтому М. у Платона был по существу чисто дедуктивным. Арис­тотелю принадлежит первая попытка определения предмета и содержания логики как филос. науки о мышлении. У него нет и намека на гносеологизм нового времени. Мышление ни в какой мере не проти­вопоставляется им бытию, так что соответствие мысли объекту выступает у него в качестве критерия истины непосредственно. Поэтому проблема соотношения общего и единичного принимает у него значение объек­тивной логики взаимосвязи вещей. Но именно вслед­ствие этого единичное и общее были в его философии определены как два «рода сущего». Такая «рядопо-ложность» объективной реальности конкретных тел и общих законов совпадала с экстенсивным, «класси-фикаторским» характером совр. ему науки, в к-рой отсутствовала еще конкретно-научная теория естеств. процессов. Поэтому анализ сущности вещей и процес­сов велся все еще в плане умозрительно-философском. В такой ситуации в качестве М. у Аристотеля высту­пил способ упорядочения и согласования материала науки с т. зр. логики координации и субординации статич. форм отношения объектов. М. оказался спо­собом получения знания из уже имеющегося знания, т.е. способом приобщения к уже имеющемуся знанию (см. Аналитики, Вторая аналитика, 1,1). Если в ка­честве органона, т. е. М. доказат. сообщения налично­го знания, у него выступает формальная логика, то его умозрит. содержат, анализ идет диалектически, но выработать диалектич. логику как М. он оказался не в состоянии. Т. о., логика Аристотеля имеет двойст­венный характер: она положила начало формальному подходу к анализу знания, нахождению критериев соответствия знания знанию. Но одновременно Аристотель пытался определить пути достижения но­вого знания, совпадающего в своем содержании с объектом.

Возникновение М. научного познания связано с раз­витием опытной науки нового времени. Разработка физико-математич. основ механики, ставшей теорией производств, практики, получила обществ, значение универсальной естественнонаучной картины мира, к-рая явилась отрицанием натурфилософии и «мета­физики» в старом смысле филос. науки о «сущем». Новая философия понималась как общая теория пре­образования мира в интересах человека. Поэтому IVL

МЕТОД 415

становится гл. и осн. содержанием философствования эпохи. Напр., Ф. Бэкон прямо решает в своих соч. задачу построения детализир. М., к-рый мог бы быть программой научно-практич. исследования. Наука должна исходить из анализа, наблюдения и экспери­ментов, восходя к познанию причин, законов, простей­ших элементов («натур» и «форм»). Способом такого восхождения является индукция, именуемая им выве­дением, или порождением, аксиом из опыта. Галилей, отвергая попытки схоластов найти истину путем сопо­ставления текстов авторитетов, разработал и применил в практике своих научных исследований М. рацио­нальной обработки опытных данных. Характерной особенностью М. у Галилея является сочетание опыта наблюдений и эксперимента с точным математич. анализом и количеств, выражением полученных в опы­те результатов. Декартовский М. является следствием его учения о мире; в этом М. механич. мировоззрение тесно связано с признанием реформированной мате­матики единств, средством познания мира. Причем математика берется со стороны ее М. и практич. на­значения, а не как учение о количеств, отношении. Здесь Декарт отвергает схоластику, к-рая учит «...рас­суждать о том, чего не знаешь, вместо того, чтобы изучать это» (Избр. произв., М., 1950, с. 171). Логика создания научной теории на основании экспериментов и постановки новых экспериментов на базе опытной теории составляет содержание нового научного поня­тия М. Научный эксперимент явился исторически первой формой единства теории и практики. Такое огранич. понимание практики имело существ, значе­ние в том, как складывались взаимоотношения науки и философии. Человек как субъект познания, носитель опыта, оказывался, с этой т. зр., за пределами прак­тики, и тем самым абсолютизировался. В идеалистич. философиях он выступал как абсолютное сознание, а в материалистич. сенсуализме — как робинзон, абсо­лютный индивид, сознание к-рого нацело определялось особенностями его физич. организации. И в том и в другом случае философия выступала как гносеоло­гия, т. е. теория знания, исходящая из противопо­ставления абс. субъекта столь же абс. объекту. Этот период в развитии науки ст. зр. М. может быть оха­рактеризован, по Марксу, как период аналитич. вос­хождения к абстрактным определениям (см. К. Маркси Ф. Энгельс, Соч., т. 12, с. 726). На этом ана­литич. пути закладываются абстрактные теоретич. основы всех совр. наук. Но именно в силу абстракт­ности этих аналитич. определений предмет науки ока­зывается объясненным в них как застывший, раз на­всегда данный. Вот почему «перенесенный Бэконом и Локком из естествознания в философию, этот способ понимания создал специфическую ограниченность последних столетий — метафизический способ мыш­ления» (Энгельс Ф., там же, т. 20, с. 21). Исто-рич. ограниченность этого этапа развития науки и научного М. обнаружилась в проблеме происхож­дения, к-рая неизбежно оказалась вне досягаемости аналитически-экспериментальных М. конкретных наук. Поэтому последние оказались не в состоянии выработать собств. «начала» и «принципы». Ими зани­малась философия, к-рая именно в силу «трансцен­дентности» этих принципов конкретным границам науки, конструировала принципы умозрительно.

В критич. М., созданном Кантом, сделана попытка преодолеть догматизм метафизики 17 в. Попытка эта выросла из протеста против метафизич. манеры философствования, связанной с некритич. принятием ньютоновской механики как модели теоретич. построе­ния мира вообще. Выступив в докритич. период своего творчества как исследователь'проблем естествознания и философии природы с ньютоновских позиций, Кант столкнулся с рядом универсальных противоречий,

к-рые были потом сформулированы им в «Критике чистого разума» в виде антиномий разума. Эти анти­номии Кант рассматривал как признак выхода ра­зума за пределы возможного для него опыта. Понятие опыта приобрело у Канта полностью субъективное со­держание, так что критерием отнесения факта к обла­сти опыта оказалась логика. Но тогда и пределы опыта необходимо определялись субъектом — отсюда априо­ризм Канта. Критич. М. и состоял в том, чтобы ука­зать правила, по к-рым разум определяет границы своей применимости. Хотя Кант рассматривал проти­воречия как признак границы, за пределами к-рой разум уже не может добыть содержат, знания, тем не менее в такой отрицат. форме Кантом была сформули­рована идея об имманентной противоречивости объек­тивного мира. Гносеологизм Канта существенно по­дорвал односторонность и эмпиризма и рационализма, однако привел к изоляции М. от содержат, теории объекта. Проблема совпадения логики развития по­знания с объективной логикой действит. мира была на идеалистич. лад решена Гегелем. «Метод может ближайшим образом представляться только видом или способом познания, и он на самом деле имеет природу такового» (Г е г е л ь, Соч., т. 6, М., 1939, с. 298). Он выполняет эту функцию только в силу того, что основывается на системе истинного знания, возни­кает как само себя знающее понятие, а сама истина является процессом. Т.о., по Гегелю, «... метод есть, сознание о форме внутреннего самодвижения ее содер­жания» (там же, т. 5, М., 1937, с. 33). Сила М. состоит в том, что он не терпит ограничений, в познании «...по­ставлен как орудие, как некоторое стоящее на субъективной стороне средство, через которое она соотносится с объектом» (там же, т. 6, с. 299). Таким объектом Гегель считал абсолютную идею, заключаю­щую в себе всю полноту развития. Гегель называл свойфилос. М. спекулятивным, или диалектическим. Диалектика — это не субъективная характеристика предмета, а его внутр. содержание. Истинный М. дол­жен образовывать систему содержат, знания, и, на­оборот, всякая система знания, имеющая объективный характер, становится М. Гегелевский М. — идеалис­тич. диалектика — при всей своей непоследователь­ности выявил с определенностью, что М. есть форма теоретич. и практич. отношения к действительности, исходящего из закономерностей ее собств. развития, и что в качестве такого М. может выступить только диалектика, диалектич. логика. Вот почему Энгельс имел полное основание заявить, что гегелевская фило­софия «... и по методу и по содержанию представляет собой лишь идеалистически на голову поставленный материализм» (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 21, с. 285).

В середине 19 в. наступил новый этап в развитии науки. Обозначился решит, поворот от аналитич. замкнутых систем к синтетич. системам, центральной проблемой к-рых оказалась проблема происхождения, развития. Принцип развития, положенный в основу этого направления, придал исследованиям синтетич. характер, к-рый потребовал нового логич. подхода к предмету научного познания. Необходимость такого-подхода вытекала из нового типа отношения теории н практики, формировавшегося в науке начиная с 19 в. Связь науки с производством приобретала форму, в к-рой наука все более выступала как производит, сила. В этих условиях эксперимент, хотя и сохранил свое значение в научных исследованиях, однако утра­тил значение абс. критерия сопоставления результатов науки с действительностью. Изменился качественно и характер связи науки с философией.

Становление философии как М. познания сущности развития материального мира завершилось созданием материалистич. диалектики. Этот процесс явился

416МЕТОД — МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ

вместе с тем качеств, преобразованием философии как науки. «Теперь задача s той и в другой области (в об­ласти изучения природы и истории. — Ред.) заклю­чается не в том, чтобы придумывать связи из головы, а в том, чтобы открывать их в самих фактах. За фило­софией, изгнанной из природы и из истории, остается, таким образом, еще только царство чистой мысли, поскольку оно еще остается: учение о законах самого процесса мышления, логика и диалектика» (Энгельс Ф., там же, с. 316). При этом имеется в виду, что диалектика есть наука «...об общих законах движе­ния как внешнего мира, так и человеческого мыш­ления: два ряда законов, которые по сути дела тож­дественны...» (там же, с. 302). Преобразование фило­софии явилось, таким образом, следствием разви­тия современной науки, поскольку она охватила су­щественное содержание осн. форм движения мате­рии и тем самым не оставила места спекулятивным натурфилос. построениям. Но предметы многообраз­ных отраслей совр. науки обнаружились по своей •сущности как диалектич. процессы развития. Иными -словами, диалектика не явилась изобретением Гегеля или Маркса, а выявилась существ, содержанием форм движения объективного мира. В совр. бурж. филосо­фии противоречие между стихийной диалектикой, все более проникающей в науку, и тенденциями к форма­лизации, порожденными узкой специализацией наук, в к-рой выражается влияние на науку капиталистич. разделения труда, проявляется в виде двух осн. тен­денций. С одной стороны, выступают различные формы иррационализма — «философия жизни», неогегельян­ство, интуитивизм. Отказываясь от рационалистич. диалектики Гегеля, они трактуют действие, практику как активность духа, принципиально выходящую за рамки рационального познания. Отсюда сама наука изображается как форма жизни духа (Литт, Кроне, Дильтей). В фил ос. системах этого толка проблемы М. рассматриваются как второстепенные, производные по отношению к теориям разума, интуиции. Значи­тельно большее распространение получили в совр. €урж. философии различные направления неопози­тивизма («логический анализ», «логический позити­визм», «философия науки», «лингвистический анализ» и др.). В центре внимания этих филос. систем нахо­дится вопрос о М. науки. Исходя из логич. структуры математики как из образца, неопозитивизм пытается построить логику научного знания вообще. В этом он видит единств, предмет философии. Т. о., для него М. выступает способом сопоставления знания со зна­нием же. Камнем преткновения для неопозитивизма оказалась проблема отношения знания к объектив­ности, в особенности проблема критерия истины. Именно принципиальная неразрешимость этой проб­лемы в том теоретич. направлении, в к-ром движется неопозитивизм, привела его к глубокому кризису, сущность к-рого состоит в том, что формализация представляет для совр. науки лишь один, и не основ­ной, момент, абсолютизация к-рого неизбежно ведет к фактич. потере предмета научного исследования как целого. Разработка теории различных аспектов единого объекта, когда она ведется на уровне познания его сущности, неизбежно вовлекает науку в область познания его как целого, как единой системы взаимо­действия. Однако трудности в синтетич. изучении объекта знания, к-рые вызваны совр. дифференциа­цией и специализацией наук, приводят к тому, что научные М., разрабатываемые в условиях неизбежно искусств, изоляции предмета от его объекта как цело­го, оказываются формалистичными, что накладывает свой отпечаток на самую возможность создать кон­кретно-всеобщую содержат, теорию объекта. Эта труд­ность в конечном счете коренится в непонимании зна­чения материалистич. диалектики как единств, конк-

ретно-всеобщего М. Потребность в таком М. ощущается всеми отраслями совр. науки. Содержат, теория и М. в совр. науке возможны только как теория и М. исто-рич. развития объекта. Единство материального мира своим содержанием имеет всеобщее взаимодействие конкретных видов его движения. Поэтому качеств, специфика этих видов движения своей оборотной сто­роной имеет их преемственность, взаимообусловлен­ность. Отсюда следует, что изучение структуры любого конкретного объекта может вылиться в его содержат, теорию, только если рассматривается история его развития, причем не в ее эмпирич. протекании, а во всеобщих, т. е. логических, характеристиках. Послед­ние есть объективно-диалектич. закономерности. И как бы ни были качественно разнообразны процессы и яв­ления материального мира, тот факт, что все они суть продукты историч. взаимосвязи, свидетельствует о содержательно-всеобщем значении диалектики, как логики историч. развития вообще. Т. о., в развитии совр. науки отчетливо выявилось соотношение кон­кретных М. специальных наук и общефилос. М. Первые выступают как особенные формы раскрытия сущности конкретных объектов, второй как М. овладения су­ществ, содержанием тех же объектов, но во всеобщей форме законов и категорий развития вообще, качест­венно по-особому проявляющихся в каждом конкрет­ном предмете, т. е. законов и категорий диалектики. Именно в этом смысле диалектика, являющаяся логи­кой и теорией познания процесса развития, выступает как единственно возможный общефилос. М. См. Логика диалектическая. Логическое и историческое, Противо­речие, Наука и лит. при этой статье.

П. Копнин. Киев, М. Туровский. Москва.

МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ— способ построе­ния теории, при к-ром в ее основу кладутся нек-рые ее положения — аксиомы или постулаты, — из к-рых все остальные положения теории (теоремы) выводятся путем рассуждений, называемых доказатель­ствами. Правила, по к-рым должны проводиться эти рассуждения, рассматриваются в логике — в уче­нии о дедукции; все понятия, с к-рыми имеют дело в доказательствах (кроме небольшого числа пер­воначальных понятий), вводятся на основе опре­делений, разъясняющих их смысл через ранее введенные или известные понятия. Науки, к-рые строятся на основе М. а., называются дедуктивны-1 ми; к последним в настоящее время относится мате­матика, а также нек-рые разделы логики и физики' (в частности, механика), тесно связанные с мате­матикой.

М. а. возник в др.-греч. геометрии, идущей от Фа-леса, Пифагора и Платона. В антич. науке он достиг кульминации в соч. Эвклида «Начала», в к-ром изла­гается построение значит, части известной тогда гео­метрии на основе этого метода. В качестве аксиом при этом выбирались предложения, по возможности наиболее очевидные в силу пространств, интуиции. Стимулом к развитию М. а. послужило, по-видимому, стремление придать всем положениям геометрии эту же степень очевидности, что было связано с убежде­нием в безупречности тех приемов рассуждения, к-рые применяются в доказательствах. Рассуждения в гео­метрии и др. разделах математики необходимы — без них невозможно разобраться в сложных соотношениях между изучаемыми объектами. Введение М. а. отк­рывало возможность упорядочения рассуждений и на этой основе устранения ошибок типа порочного кру­га, представляющих большую опасность в запутанных случаях. Кроме того, М. а. способствовал выяснению логич. связей между изучаемыми понятиями и прида­вал изложению науки строгость. Поэтому в дальней­шем неоднократно предпринимались попытки строить на основе М. а. и др. науки: философию (Спиноза),

МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ 417

этнологию (Вико), политическую экономию (Родбер-тус), а также различные разделы физики. В наст, время известны попытки использования М. а. в био­логии (англ. биологом Дж. Вуджером).

Сфера применения М. а. ограничена теми науками, в к-рых понятия имеют стабильность, достаточную для применения к ним четких предписаний формаль­ной логики, а плодотворность М. а. проявляется лишь тогда, когда надлежит разобраться только в отноше­ниях между понятиями. В противном случае самая ответственная часть решения задачи выпадает на долю экспериментов и наблюдений, рассуждения же игра­ют уже подчиненную роль. По этой причине попытки применения М. а. в философии (к-рая по самому су­ществу занимается неформальным анализом понятий, при к-ром их нельзя рассматривать как стабильные), а также в науках, тесно связанных с наблюдениями, большого успеха не имели. Говоря о развитии М. а., можно поэтому ограничиться М. а. в математике и математической логике.

М. а. в математике прошел три стадии развития. Первая связана с появлением М. а. в аптич. построе­нии геометрии, к-рый представлялся здесь в виде нек-рого идеала. Однако М. а. не был достаточно раз­работан ни в «Началах» Эвклида, ни в к.-л. др. работе до 2-й пол. 19 в. Не существовало точного описания того, что следует понимать под логич. доказательством, и в расссуждения, наряду с силлогизмами, вторгались ссылки на геометрич. очевидность. Это относится осо­бенно к утверждениям, связанным с непрерывностью геометрич. образов и их взаимным расположением в пространстве. С другой стороны, не было отчетли­вости во введении понятий. Введение первоиач. поня­тий сопровождалось, напр. у Эвклида, различными разъяснениями, выглядевшими как попытки опреде­ления.

Роль М. а. в математике начала особенно возрастать после того, как в сер. 19 в. Лобачевским и венг. матема­тиком Я. Бойай была показана возможность строить геометрию на аксиомах, отличных от эвклидовых. С этого времени можно говорить о второй стадии в раз­витии М. а. Появилось много геометрич. иалгебра-ич. теорий, к-рые строились на основе М. а. Пеано первый предпринял (1889) далеко идущую попытку аксиоматизировать арифметику, впоследствии углуб­ленную нем. ученым Д. Гильбертом и его учениками. В этот период происходило устранение недостатков, присущих М. а. др.-греч. ученых. В геометрии они были устранены в работах Паша, Гильберта и др. В конце 19 — нач. 20 вв. различные разделы матема­тики подвергались аксиоматизации, причем в построе­нии этих аксиоматич. систем участвовали (по большей части неявно) теоретико-множеств. концепции. С по­мощью последних первонач. понятия различных обла­стей математики сводились к арифметич. понятиям, для которых в свою очередь была предложена теоре­тико-множеств. интерпретация. Т. о., практически вся математика была объединена на основе теории множеств Кантора. После того как последняя была аксиоматизирована (нем. математики Э. Цермело, 1908; А. Френкель, 1922—25), можно было считать, что М. а. распространился на всю математику. Па­раллельно шло развитие математич. логики, в к-рой М. а. также играет большую роль.

Разработанная Гильбертом (1899) совр.аксиоматиза­ция геометрии позволила нем. математику Ф.Клейну и Пуанкаре доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского — Бойай относительно гео­метрии Эвклида. Это доказательство, основанное на важной идее интерпретации (или модели) аксиоматич. теории, состояло в указании способа истолкова­ния понятий и предложений этой неэвклидовой гео­метрии в терминах эвклидовой. Метод интерпрета-

ции, предложенный Клейном — Пуанкаре для отно­сит, доказательства непротиворечивости (или, как иначе говорят, для доказательства относит, непроти­воречивости) геометрии Лобачевского — Бойай (т. е. для доказательства того, что эта геометрия непротиво­речива, если непротиворечива др. известная теория,— в данном случае эвклидова геометрия), с тех пор полу­чил широкое применение в основаниях математики и математич. логике для доказательства относит, непротиворечивости математич. и логич. теорий.

Следует подчеркнуть, что в указ. доказательствах речь идет о доказательстве непротиворечивости систе­мы аксиом. Вопрос о том, в какой мере данная система аксиом (напр., система аксиом Гильберта) точно соответствует тому, что обычно подразумевается под геометрией, оставляется при этом в стороне: это вопрос об отношении аксиоматич. теории к нек-рой области познания. О точности этого соответствия мы судим уже не на основании средств самого М. а., а при помощи критериев, носящих практический (в широком смысле) характер, а именно критериев, учитывающих успешность отображения в рассматри­ваемой аксиоматич. теории интересующих нас фактов из изучаемой области (в нашем примере — элемен­тарной геометрии).

С идеей интерпретации тесно связана др. важная для 2-й стадии развития М. а. (конец 19 — нач. 20 вв.) идея, к-рая состоит в том, что предметом изучения всякой аксиоматич. теории служит любая ее интерпре­тация. В самом деле, если все теоремы получаются из аксиом путем чисто логич. заключений, без использо­вания к.-л. свойств понятий, кроме тех, к-рые содер­жатся в определениях и аксиомах, то, ввиду того что аксиомы во всякой интерпретации должны выпол­няться, теоремы данной аксиоматич. теории, в приме­нении к рассматриваемой интерпретации, также мо­гут быть доказаны путем соответствующих логиче­ских заключений. В этой концепции стирается грань между аксиомами и определениями. С одной стороны, вместо того, чтобы вводить к.-л. новое понятие по­средством определения, можно присоединить его к чис­лу первоначальных понятий и добавить соответствую­щую этому определению аксиому. Напр., вместо опре­деления «ромб есть четырехугольник с равными сто­ронами», можно ввести понятие «ромб» в качестве пер­воначального, добавив аксиому: «четырехугольник является ромбом в том и только в том случае, если все его стороны равны»; класс доказуемых предложений — аксиом, определений и теорем — от этого не изменил­ся бы (если игнорировать нек-рую несущественную для математики формально-грамматич. разницу между формулировками определения и аксиомы). С др. сто­роны, все понятия можно с помощью определений све­сти к первоначальным, и тогда в формулировках акси­ом окажутся только первонач. понятия, соединенные логико-грамматич. связками. Т.к., кроме аксиом, при выводе теорем мы никакими др. свойствами перво­нач. понятий в рамках данной аксиоматич. теории не вправе пользоваться, то на аксиомы можно смотреть как на неявные определения первонач. понятий. Прав­да, при этом сохранится различие между явными и не­явными определениями (см. Определение).

Теперь на аксиомы уже не следует смотреть, как на очевидные предложения. Аксиомы, согласно рас­сматриваемо й концепции М. а.,— это неявные опре­деления первоначальных понятий. Вместо данных аксиом мы могли бы принять другие; тогда мы рассмат­ривали бы др. аксиоматич. теорию, к-рая считается эквивалентной данной, если классы доказуемых пред­ложений в обеих теориях совпадают.

Новый взгляд на аксиомы привел к расширению применимости аксиоматич. теорий, поскольку, помимо естеств. интерпретации, к-рая имеется в виду при по-

418 МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ

строении каждой такой теории, последняя примени­ма и ко всякой др. интерпретации. Так, естеств. ин­терпретацией для аксиоматич. элементарной геомет­рии служат точки, прямые и т. п. объекты наглядно воспринимаемого пространства, связанного с физич. действительностью. Но, помимо изучения этой ин­терпретации, аксиоматич. геометрия дает нам теперь теоремы, относящиеся, напр., к арифметич. интерпре­тации. Применение в классич. разделах математики таких абстрактных аксиоматич. теорий, как теория групп или полей или теория топологич. пространств, основано именно на методе интерпретации. В данном случае метод интерпретации содействует объединению различных разделов математики на основе абстракт­ных аксиоматич. теорий.

В связи с аксиоматич. теориями возникает ряд задач общелогич. характера; рассмотрение этих последних содействовало дальнейшему совершенствованию М. а. и привело к возникновению 3-й стадии в его развитии. Важнейшие из этих задач — доказательство непро­тиворечивости, а также полноты данной аксиоматич. теории. Теория должна быть непротиворечивой, по­тому что в случае наличия в ней противоречия она не имеет интерпретаций и потому беспредметна. Пол­нота теории означает, что всякое предложение, к-рое можно в ней сформулировать, можно в ней доказать или опровергнуть, т.е. вывести из аксиом само это предложение или его отрицание. Полнота теории име­ет несколько меньшее значение, чем непротиворечи­вость, поскольку и неполная теория может давать важ­ные сведения об изучаемых ею объектах. С проблемой полноты до нек-рой степени связана другая пробле­ма— проблема разрешения (см. Разрешения проблемы), состоящая в нахождении метода, позволяющего уста­новить, доказуемо ли в рассматриваемой теории ее произвольно данное предложение или нет. Еще один вопрос, к-рый возникает в связи с каждой аксиоматич. теорией, состоит в том, являются ли аксиомы данной системы независимыми (см. Независимость). Если к.-л. аксиома не является независимой, то среди акси­ом есть лишние, а это затрудняет доказательство не­противоречивости и установление интерпретации для данной аксиоматич. теории.

Третья, современная стадия развития М. а. нача­лась с появления теории математич. доказательств Гильберта (1900—1904). Осн. понятия этой теории тес­но связаны с математич. логикой, одним из достиже­ний к-рой является создание языка, позволяющего записать любое математич. предложение в виде фор­мулы. Логико-грамматич. связки разговорного языка: «если...то», «и», «или», «не», «каждый», «некоторые» выражаются при этом спец. символами, называемыми символами логич. операций. Первонач. нонятиям аксиоматич. теории, выражаемым предикатами (ска­зуемыми) обычного разговорного языка, соответствуют при этом т. н. предикатные символы, с помощью к-рых символич. образом выражаются элементарные (т. е. неразложимые далее) предложения теории. Напр., предложение «точки а и Ь лежат на прямой с» можно выразить так: (((Р(а) &Р(Ь)) &G(c)) &In(a, b, с)), где Р(х)— (предикатный) символ, соответствующий пре­дикату «х есть точка», G(y) — символ, соответствую­щий предикату «г/ есть прямая», а 1п(х, у, г) — сим­вол, соответствующий предикату «х и у лежат на г» (& есть символ логич. связки «и»). Т. о., всякое пред­ложение аксиоматич. теории может быть выражено в виде нек-рой формулы. Символич. язык теории зада­ется символич. способом выражения каждого перво­нач. понятия теории; после этого всякое исходное предложение теории может быть выражено с помо­щью символов логич. операций. Это — т. н. нелогич. аксиомы. Помимо них, имеются логич. аксиомы, заим­ствованные из математич. логики. Те и др. аксиомы

суть формулы. Из этих аксиом по определ. правилам, к-рые дает математич. логика и к-рые наз. правилами вывода, можно получить новые формулы. При этом все формулы рассматриваются как простые последова­тельности знаков. Аксиомы и правила вывода вместе называют иногда постулатами. Хотя правила вывода и имеют чисто формальную структуру, они требуют (в отличие от аксиом и формул вообще) со­держат, понимания. Аксиоматич. теории, рассмат­риваемые в рамках этой гильбертовской концепции, стали называть формализованными, или формальными, теориями. Анализ и изучение данной формальной тео­рии содержательными средствами составили область исследований, к-рую наз. ее метатеорией.

Поиск по сайту: