Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Философский материализм 9 страница




334 МАТЕМАТИКА


мых внутри самой М.: они создаются, а не копируют­ся, так же как далеко идущие логич. выводы из ис­ходных понятий могут вести и ведут к результатам, не имеющим прямого прообраза в природе (как, напр., теорема о существовании неизмеримых множеств). Невозможность прямой опытной проверки подобных выводов и самое исключение опыта из математич. аргументации влечет специфич. постановку вопроса об истинности таких выводов, об истинности матема­тич. теорий вообще. Теорема считается верной, если она доказана. Математич. теория верна (осмысленна), если она логически последовательна, непротиворечива. Но истина состоит в соответствии с действительностью, а логич. связь понятий и выводов — лишь ступень в ее познании. Чистая М. лишь постольку оказывается наукой, а не произвольным логич. построением, по­скольку она отражает действительность, но устанав­ливается это на высокой ступени абстракции не непосредственно, а через др. науки. Чистая М. ис­ходит из практики и возвращается к ней в виде при­кладной М. В этом постоянном взаимном переходе прикладной М. в чистую и обратно и состоит главная движущая сила развития М. Поэтому математич. тео­рия, будучи сама по себе (а тем более в ее форма льно-аксиоматич. понимании) только возможной схемой описания к.-л. сторон, явлений действительности, оказывается истинной или ложной только в прило­жении. А такое приложение не бывает абсолютно точ­ным и потому не устанавливает истинности теории во всем ее логически возможном развитии. Так, нек-рым результатам теоретико-множественной геометрии (не­зависимо от того, непротиворечива ли она) не удается приписать никакого реального смысла (напр., теоре­ма Хаусдорфа о существовании разбиения сферы на такое конечное число «неизмеримых» частей, из к-рых можно составить две сферы того же радиуса). -

Сказанное выражает коренное диалектич. проти­воречие в самой сущности М., являющееся специфи­ческим для нее проявлением того общего противоречия познания, что отображение мыслью всякого элемента действительности, выхватывая его из общей связи при­роды, упрощает, огрубляет и вместе с тем придает ему дополнит, свойства. Проявлением этого противоречия М. служит то, что в ее абстрактности и точности заключаются ее сила и ее ограниченность. Это же про­тиворечие обусловливает трудности оснований М.

Структура М. Совр. М. состоит из след. осн. разде­лов: 1) алгебры; 2) теории чисел, изучающей законо­мерности натурального ряда и др. числовых систем; 3) геометрии, из к-рой выделяется 4) топология,изу­чающая т. н. топологич. пространства, т.,е. прост­ранства, в к-рых определены понятия предела и не-прерыиности; 5) теории функций (одной и нескольких вещественных или комплексных переменных, функций множества, обобщенных функций); 6) теории диффе­ренциальных и интегральных уравнений; 7) функци­онального анализа [разделы 5), 6) и 7) часто объе­диняют под общим назв. математич. аиализа];8) вычи­слит, методов (примыкающих к алгебре и анализу); 9) теории вероятностей; 10) математич. логики и тео­рии алгоритмов. Чрезвычайно сложная структура М. весьма приблизительно описывается приведенной клас­сификацией, отнесение к.-л. конкретной математич. проблемы к одному из ее разделов часто бывает услов­ным. Так, на стыке 1) и 4) лежит т. н. топологич. ал­гебра, предмет к-рой — алгебраич. системы, являющи­еся в то же время топологич. пространствами (про­стейший пример — «числовая прямая»); геометрия переплетается с анализом и т. п. При др. классифика­ции можно выделить, напр., раздел «хМатематич. проблемы кибернетики», в к-рый попадают такие математич. дисциплины, как теория автоматов [из 1)], теория информации [из 9)1, теория игр и т. д. Наконец,


из 5) обособилась теория множеств, исследо­вания по к-рой вместе с проблемами математич. ло­гики (в т. ч. теории алгоритмов ) можно рассматривать в качестве содержания спец. математич. дисциплины — оснований математики.

М. и философия. М. всегда играла большую роль в философии и испытывала на себе ее влияние. Так, математич. понятия о бесконечности, о непрерывности с момента их появления служили предметом филос. анализа; с ними связаны апории Зенона Элейского, в 17 в.— рассуждения о бесконечно малых и пр. Борьба материализма и идеализма в М. идет через всю ее историю от Древней Греции, где против материализма Фалеса, Демокрита и других философов, заложшнпих основы М., выступил идеализм Пифагора, Платона и др. Идеализм находит в М. удобную почву из-за ее абстрактного, умозрит. характера. Уже в элементар­ной абстракции, как отметил Ленин, заключается возможность идеализма. Платон считал достойной внимания истинного философа только чисто теоретич. геометрию, исключая из нее даже исследование конич. сечений, поскольку для вычерчивания они «нуждают­ся в применении орудий пошлого ремесла». Положе­ние платонизма о самостоят, бытии идей несомненно связано по своему происхождению с отделением по­нятий М. от их конкретного основания. Позже М. сыграла решающую роль в формировании рациона­лизма, к-рый видел в ее умозрительном, строго логич. характере идеал познания. Кант в построении своей философии исходил прежде всего из вопроса о том, как возможна чистая М. Упуская из виду ее происхож­дение из опыта, а видя лишь обязательность ее выво­дов, он приписывал ей априорный характер. Представ­ление об априорности геометрии повлекло представ­ление о пространстве как об априорной форме восприя­тия и т. д. Т. о., кантианство в большой мере выросло из неправильного понимания М. Начиная от греков М. играла несомненную роль в развитии логики; особенно эта роль усилилась с сер. 19 в. в связи с исследованием основ М., анализом ее логич. средств, возникновением математич. логики, что оказало на самое логику громадное преобразующее влияние. На этой почве выросла философия т. н. логического пози­тивизма, подобно тому как «физический идеализм» вырос на почве революции в физике.

Особенности М. служили источником разнообразных идеалистич. течений в понимании ее сущности. Это прежде всего платонизм в М., приписывающий матема­тич. абстракциям самостоят, существование. Он более или менее осознанно сохраняется на всем протяжении истории М., но особенно ясно был выражен Кантором, к-рый приписывал бесконечным множествам, а вместе с ними всем понятиям М. некое объективное самостоя­тельное существование. Это илатоновско-канторовское воззрение может быть характеризовано как теоре­тико-множественный идеализм. Затруднения в обос­новании теории множеств вызвали против нее субъ-ективно-идеалистич. реакцию интуиционизма и ряд др. течений: логицизм, конвенционализм, эффекти-визм, формализм, причем интуиционизм и особенно формализм сыграли большую роль в выяснении ос­нований М.

Идеализму в М. всегда противостоял материализм. Крупнейшие математики, особенно те, чьи исследова­ния были тесно связаны с естествознанием, придержи­вались, как правило, хотя бы стихийно, материалистич. взглядов на свою науку. Диалектико-материалистпч. понимание сущности М. было дано Энгельсом в «Анти-Дюринге». Оно разрабатывается сов. математиками. Важны для понимания М. данные Лениным в его «Фи­лософских тетрадях» положения о сложности пути познания, о роли абстракции, о единстве и борьбе противоположностей в познании и др. Метафизич.


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ 335


материализм, «...основная беда коего есть неумение
применить диалектики к Bildertheorie (теории
отражения.— Ред.), к процессу и развитию позна­
ния» (Соч., т. 38, с. 360), не может верно понять
М. во всей сложности ее развития и отношения
к действительности. Он либо стремится придать
математич. абстракциям слишком непосредств.
объективный смысл и тогда смыкается с плато-
новско-канторовским идеализмом, либо доходит
до отрицания правомерности математич. абстракций,
т. е. до отрицания правомерности чистой М. В проти­
воположность всем оттенкам идеализма и метафизики
диалектический материализм рассматривает М. такой,
как она есть, во всем богатстве и сложности ее связей
и развития и поэтому ведет к верному ее понимание.
Лит.: Энгельс Ф., Анти-Дюринг, в кн.: Маркер,
и Энгельс» Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 36—9, 88--Э;
его же, Диалектика природы, там же, с. 500—01, 50д
572—87, Л е н и н В. И., Соч., 4 изд., т. 38, с. 105—Об,
200—02, 371; М., ее содержание, методы и значение, т. 1—з,
М., 1956; Александров А. Д., Геометрия, БСЭ, 2 изд.,
т. 10; Колмогоров А. Н., М., БСЭ, 2 изд., т. 26
(имеется библ.); М. в СССР за сорок лет. 1917 —1957
т. 1—2, М., 1959. А. Александров. Ленинград'

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ- общее название разл. реализаций идеи бесконечности в математике. Хотя между значениями понятия М. б. и др. значениями, в к-рых употребляется термин «бес­конечность», нет жесткой границы (поскольку все эти понятия в конечном счете отражают весьма близкие свойства реального мира), математич. анализ понятая бесконечности следует отграничивать от филос. ана­лиза,—признавая диалектич. характер бесконечности, математика стремится выделить в качестве ее экспли-катов формально непротиворечивые понятия, пригод­ные для строгого дедуктивного (формальнологщ.) построения математич. и логико-математич. теорий.

Вокруг идеи М. б. уже в античности шли остръде дискуссии. Т. зр. Демокрита, рассматривавшего гео-метрич. прямую как состоящую из «неделимых» эле­ментов нулевой длины, оказалась подорванной откры­тием (5 в. до н. э.) несоизмеримости отрезков. В порядке преодоления создавшихся трудностей возникли теория пропорций Эвклида (прообраз позднейших теорий континуума) и т. н. метод исчерпания Архимеда, фактически заключавший в себе понятие предела. В основе этих идей лежал отказ от атомистич. пред­ставлений (в геометрии).

Проблемы М. б. вновь привлекли внимание в 17 в. в связи с открытием дифференциального и интеграль­ного исчисления и введением таких понятий, как «бес­конечно малая» и «бесконечно большая» величина, к-рые часто воспринимались как нечто таинственное и непостижимое. Лишь в 20-х гг. 19 в. франц. математиком О. Коши понятие бесконечно малой величины было, iro существу, изгнано из математики при помощи сведе­ния его к точному понятию предела «переменно!!» величины, хотя это сведение и опиралось на инту­итивные представления об изменении некоей «вели­чины» во времени, т. е. было связано с категорией, лежащей вне «чистой» математики.

Еще со времен антич. древности наметилось глубо­кое различие между двумя аспектами М. б.: д и с к р е т-п ы м, отраженным в понятиях натурального ряда и последовательности, и непрерывным, связанньш с рассмотрением свойств произвольных функций, Оп­ределенных на (числовом) континууме (см. Прерыв­ность и непрерывность). Но в 60—70-х гг. 19 в. поня­тие предела переменной величины было в принципе све­дено к понятию предела последовательности (функции натурального аргумента), а исследования основного для математич. анализа понятия действительного (ве­щественного) числа, проведенные нем. математиками К. Вейерштрассом, Р. Дедекиндом, Г. Кантором и франц. математиком Ш. Мере, привели к т. н. арифме-


тизации анализа: действительные числа определялись как множество рациональных чисел, причем в теориях Вейерштрасса и Мере—Кантора эти множества в явном виде фигурировали в качестве последователь­ностей. В рамках арифметизированного анализа приоб­ретали полную ясность все осознанные и неосознанные переходы к пределу, совершавшиеся в античной мате­матике от Евдокса до Архимеда, и разрешались (в известном смысле) зеноновские апории..

Это обоснование понятий и методов, связанных с М. б., было обязано принятию т. н. теоретико-множе­ственной установки, суть к-рой состоит в том, что» конкретные математич. теории рассматриваются как разл. спецификации теории множеств Кантора, к-рый разработал четкую иерархию кардинальных чисел (мощностей) и трансфинитных (бесконечных) порядко­вых чисел. Известный еще со времен Галилея факт, что бесконечное множество м:ожет быть эквивалентно» (равномощно; см. Взаимно-однозначное соответствие) своей правильной (т. е. не совпадающей с ним) части, воспринимавшийся как «парадокс бесконечного» (в нарушение «аксиомы» целое больше части), теперь был положен в основу определения бесконечного множества (Дедекинд).

Вскоре, однако, выяснилось, что теоретико-мно-жеств. представления отнюдь не решили принципиаль­ных трудностей, относящихся к М. б., что было свя­зано с открытием парадоксов теории множеств. Есте­ственно было считать, что появление парадоксов связано прежде всего с приводящим к абстракции, актуальной бесконечности безоговорочным перенесе­нием на бесконечные множества законов традиц. логики, сформулированных и безусловно верных в применении к конечным множествам. В дальнейшем во взглядах на причины возникшего кризиса опреде­лились далеко идущие расхождения. В рамках типов теории (см. также Логицизм) Рассела и Уайтхеда мощности конечных множеств (следуя Фреге) вводились посредством спец. логич. формул (предикатов), а понятие М. б.— при помощи т. н. аксиомы бесконеч­ности. Однако уязвимость аксиомы бесконечности и особенно др. важного постулата системы Рассела — т. н. аксиомы сводимости, носящих характер практи­чески непроверяемых гипотез, обратила внимание подавляющего большинства математиков и философов к др. путям решения проблемы М. б.

Как отмечал глава формально-аксиоматич. направ­ления Д. Гильберт, никакое реальное наблюдение (или опыт) до сих пор не дало и принципиально не может дать к.-л. конкретного примера бесконечного множе­ства. Тем не менее понятие М. б. может оказаться пло­дотворным в качестве т. н. идеального понятия (поня­тия, не имеющего реальной, физич. интерпретации) — при условии, что присоединение такого понятия (и по­лучаемых с его помощью предложений) к теории не на­рушает ее непротиворечивости. Реализацией гильбер-товской программы (см. Метатеория) явились разл. системы аксиоматич. теории множеств (Э. Цермело, А. Френкеля, Дж. фон Неймана, Т. Сколема, П. Бер-найса, К. Гёделя, А. Жостовского и др.). Для построе­ния в рамках этих систем конкретного примера беско­нечного множества требуется спец. аксиома бесконеч­ности, утверждающая существование множества, экви­валентного своей правильной части (напр., натураль­ного ряда). В отличие от логицистич.трактовки аксиомы бесконечности, при аксиоматич. подходе ее формули­ровка не предполагает к.-л. постулатов о содержатель­ной бесконечности возможных физич. интерпретаций теории множеств.

Новейшее развитие математики и логики обнаружиг-ло, что представление об абсолютной, не зависящей от каких бы то ни было дополнит, понятий и допуще­ний, «природе» понятия М. б. оказывается неоправдан-


336МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БЕСКОНЕЧНОСТЬ-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА


ным. Так, казавшаяся очевидной равносильность (эквивалентность) используемого в аксиоматич. теории множеств определения бесконечного множества и пред­ставления о бесконечном множестве как «неконечном» связана, как выяснилось, с использованием т. н. ак­сиомы выбора. Это привело к имеющим важное филос. значение исследованиям о различных по силе определениях бесконечного множества (А. Тарский, А. Мостовский и др.). Относительность понятия М. б. раскрывается в рамках аксиоматич. подхода и в др. аспекте. Согласно теореме Лёвенхейма — Сколема (см. Предикатов исчисление), любая непротиворечивая аксиоматич. теория имеет интерпретацию (модель), причем такую, что ее элементами являются натураль­ные числа; отсюда следует, что описываемые в систе­мах аксиоматич. теории множеств «несчетные» мно­жества представимы средствами счетной модели. Этот «парадокс Сколема» демонстрирует относительность понятий счетности и несчетности (обусловливающую, в частности, возможность построения т. н. нестандарт­ных моделей арифметики и теории множеств, т. е. таких моделей, что построенный в них натуральный ряд — или класс трансфинитных чисел — оказывается неизоморфным соответствующему числовому классу теории, средствами к-рой строится модель; см. Изо­морфизм, Модель) и показывает беспочвенность расчетов на категоричность системы аксиом теории множеств (или даже арифметики), подрывая тем самым платонистские представления о существовании (безотносительном к нашему мышлению) таких «сущ­ностей», как натуральный ряд и др. бесконечных множеств, рассматриваемых в математике.

В уяснении методологич. проблем М. б. большую роль сыграли интуиционизм и конструктивное на­правление в математике. После критики Брауэром классич. математики стало ясно, что суть проблемы состоит в разл. обоснованности, с к-рой правила об­ращения с конечными множествами могут быть пере­несены (и действительно переносятся) на бесконечные множества, т. е. в понимании и использовании аб­стракций, связанных с М. б. Наиболее замечат. чер­той конструктивного направления (по отношению к проблеме М. б.) является последовательная реализа­ция (декларированных еще интуиционистами начала 20 в.) конструктивных принципов истолкования мате-матич. суждений (в частности, всеобщих и экзистен­циальных суждений) — принципов, не использую­щих абстракции актуальной бесконечности.

Существенно новый подход к проблеме М. б. возник в последние годы в связи с т. н. ультраинтуиционист­ской критикой оснований математики и возникшей на ее основе «генетической» программой обоснования теории множеств. Согласно ультраинтуиционистскому подходу, гипотеза потенциальной осуществимости (см. Абстракция потенциальной осуществимости) распадается на ряд содержательно неэквивалент­ных допущений об осуществимости. Неосуществи­мые средствами любой из этих частичных абстракций числа можно интерпретировать как бесконечные [та­кой подход к М. б., намечавшийся ранее Маннури, голл. математиком Д. ван Данцигом и др., в известной мере аналогичен представлениям, развиваемым Дж. фон Нейманом и А. Н. Колмогоровым в теории (конеч­ных) автоматов]. Дальнейшие построения ультраин­туиционизма связаны с анализом абстракции отож­дествления.

В ультраинтуиционистской концепции понятие М. б., с одной стороны, как таковое вообще не используется, а с другой—в терминах принятой ультраинтуициониз­мом «конечной установки» удается не только про­интерпретировать понятия теории (бесконечных) мно­жеств, но и показать непротиворечивость последней, а также найти подход к решению трудных теоретико-


множеств. проблем (контунуум-гипотеза, сущест­вование недостижимых трансфинитных чисел и др.). Интересно ультраинтуиционистское разрешение зе-ноновских апорий «Ахиллес», «Дихотомия» и др., со­стоящее в указании на неправомерность допущения об «окончании» бесконечного процесса посредством уста­новления изоморфизма между последовательностью реальных (пространственных и временных) промежут­ков и последовательностью их мысленных образов. Вообще соврем, подходы к проблеме М. б. часто пере­кликаются с античной проблематикой. Так, исходным пунктом ультраинтуиционистских рассмотрений мож­но считать явный учет реальных ситуаций, приводя­щих к парадоксам типа «Куча» Еебулида. Др. пример такого рода — «перевоплощение» атомизма Леекиппа — Демокрита, черты к-рого можно усмотреть в концепции континуума в конструктивном математич. анализе, со­гласно к-рой каждая конструктивная вещественная функция оказывается непрерывной («снятие» извечного противопоставления дискретного и непрерывного).

Т. о., для математики, всегда имеющей в виду понятие М. б., характерно стремление освободиться от его явного использования. Математику, часто называемую «наукой о бесконечности», с не меньшим основанием можно определить как науку о способах обходиться без понятия бесконечности. В этом, в частности, естественно усматривать ее диалектич. характер. См. также Математическая индукция, Алгоритм.

Лит. см. при статьях Конструктивное направление, Метод аксиоматический, Метатеория.

Ю. Гастев. Москва.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА— предположи­тельное изменение формы, вида, характера уравнения, выражающего закон изученной области явлений, с целью распространения его на новую, еще неизу­ченную область в качестве присущего ей закона. М. г. широко применяется в совр. теоретич. физике, но использовалась и в классич. физике.

Метод М. г. применяется там, где открывается со­вершенно новый тип явлений, закономерности к-рых не установлены, но обнаружено, что эти законы не могут быть адекватно выражены с помощью при­вычных образов и понятий, в то время как новых физич. понятий и образов еще нет и неясны пути их создания. Для изучения этой неисследованной области физик-теоретик выбирает одну из групп, явле­ний, примыкающих, по его мнению, вплотную к неис­следованной области, а именно ту группу, закономер­ности к-рой достаточно хорошо известны и выражены в нек-ром математич. уравнении. Далее он довольно произвольно, но руководствуясь нек-рыми общими правилами (см. ниже), изменяет это уравнение. При этом он еще но знает окончат, физич. смысла произ­водимых преобразований и вводимых новых членов, параметров. На этой стадии он даже еще и но ищет его в полном объеме, ограничиваясь своего рода эскизной прикидкой. Из преобразованного уравнения выводится ряд следствий, к-рые сопоставляются с дан­ными эксперимента. Согласие с ними служит осно­ванием для дальнейшей детальной разработки М. г.; противоречие — основанием для отказа от нее и на­чала новых аналогичных поисков на ином пути. В случае успеха начинается постепенная разработка конкретной физич. интерпретации полученных соот­ношений.

У М. г. много общего с обычной физич. гипотезой. Она так же, как и последняя, обладает большой предсказат. силой, перерастает при подтверждении опытом в систематически развитую теорию. Но есть и свои особенности: на переднем плане обычной гипотезы стоит выявление основных физич. черт материального объекта, к-рый исследуется, а в М. г. исходным и непосредственным является предположе-


МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА337


ние об общем характере и особенностях новой физич. теории исследуемого объекта. В обычной гипотезе физич. характеристика объекта выражается сразу, и теория затем развивается на основе уже сформули­рованной, хотя бы в общих чертах, физич. интерпре­тации исходных понятий. В М. г. в первую очередь схватывается общий математически выраженный ко­стяк теории и лишь затем ищется физич. интерпре­тация частей, элементов этой теории и свойств объекта.

По своему конкретному воплощению, по своей фор­ме М. г. весьма многообразны. Но в этом многообра­зии можно выделить несколько осн. типов М. г. По характеру, способу модификации осн. уравнения или закона эти осн. типы таковы: 1) М. г., в к-рых изменяется общий тип, общий вид уравнений; 2) М. г., в к-рых тип, общий вид уравнений остается прежним, но в них подставляются величины иной природы, иного характера; 3) М. г., в к-рых меняется и общий вид уравнения, и тип входящих в него величин; 4) М. г., в к-рых изменяется характер граничных, или предельных, условий решения уравнений.

К первому типу М. г. относится, напр., гипотеза В. Гейзенберга, с помощью к-рой он пытается выра­зить фундаментальный закон совр. теории «элемен­тарных» частиц. Здесь исходное линейное квантово-механич. уравнение П. Дирака путем ряда трансфор­маций (вычеркивание члена, содержащего массу, введение нового параметра, выражающего величину «минимальной длины», прибавление нового члена, содержащего спинорную функцию в третьей степени) превращается в нелинейное, т. е. в уравнение прин­ципиально другого класса. К этому же типу М. г. относится и гениальное построение Максвеллом си­стемы уравнений электродинамики путем введения в совокупность известных до него уравнений электро­магнетизма принципиально нового члена, выражаю­щего величину т. н. тока смещения. Благодаря этому Максвелл и создал целостную, логически замкнутую безупречную теорию электродинамики.

Второй тип М. г. представлен, напр., фактом соз­дания Лоронцом классич. электронной теории, исхо­дившей из электродинамич. уравнений Максвелла. Лоренц, не меняя внешней формы максвелловских уравнений, вместо величин, с которыми оперирова­ла электродинамика Максвелла, не учитывавшая фак­та дискретности электрического заряда, ввел дру­гие по физич. смыслу величины — вместо усреднен­ных микроскоп и ч. полей, зарядов, токов их микроскопич. значения. Эти М. г. в известном смысле увенчали все здание классич. физики. М. г. второго типа сыграли выдающуюся роль и в создании квантовой механики. С помощью М. г. второго типа разрабатывалась т. н. матричная механика, явив­шаяся первым вариантом совр. квантовой механики. М. Борн, В. Гейзенберг, разрабатывавшие матрич­ную механику, исходили из мысли, что в атомных явлениях общий тип, общий вид канонич. уравнений классич. механики остается неизменным. Но в эти уравнения они ввели величины иной, неклассич. при­роды — не обычные числа, а матрицы, не обладаю­щие свойством коммутативности. Аналогичным путем шел Э. Шрёдингер, разрабатывая основы волновой механики. Он исходил из изв. в классич. физике т. н. волнового уравнения, руководствуясь идеей де Бройля о том, что каждой материальной частице соответствует нек-рый волновой процесс. Эта идея определила особенности того типа уравнения, к-рый должен был стать ядром М. г., имевшей целью выра­зить закон движения микрообъектов. Фактически не меняя общего вида классич. волнового уравнения, Шрёдингер изменил смысл входящих в него членов, используя введенное де Бройлем неизвестное классич. физике соотношение между длиной волны волнового


процесса и импульсом частицы. Так получилось фун­даментальное уравнение Шрёдингера для случая ста­ционарных состояний атома, легшее в основу совр. квантовой механики. Интерпретация физич. смысла вошедшей в него «волновой функции» разрабатыва­лась затем на протяжении длит, времени. На основа­нии М. г. второго типа создавалась и совр. квантовая электродинамика, взявшая в качестве исходных неиз­менные по форме уравнения Максвелла. Входящие в них физич. величины были заменены другими — подчиняющимися особым квантовым законам.

Третий тип М. г. соединяет особенности гипотез первого и второго типов. К нему относится М. г., на основе к-рой де Бройль, Вижье, Бом и др. стре­мятся разработать свой вариант теории «элемен­тарных» частиц. Они меняют исходные квантовые уравнения, стараясь учесть идеи общей теории отно­сительности. В результате получается трансформи­рованное квантовое уравнение, в к-ром радикально изменен и смысл входящей в него волновой функции.

С четвертым типом М. г. особенно часто имеют де­ло в общей теории относительности и в проблемах космологии, где центр тяжести нередко переносит­ся как раз на исследование граничных, предельных условий.

Разделение М. г. на различные типы не имеет жесткого, абс. характера. Так, с изменением типа уравнения в какой-то мере могут измениться тип и смысл входящих в него величин. И чем сильнее трансформируется вид уравнения, тем существеннее может быть изменение характера входящих в него величин. Т. о., между М. г. первого и третьего типов нет резкой границы. Но при всем том их нельзя и смешивать друг с другом. Изменение смысла, содер­жания входящих в уравнение величин в М. г. первого типа производно. Оно выступает как следствие гл. операции, характерной именно для гипотезы пер­вого типа — трансформации вида уравнения. В гипо­тезе же третьего типа и трансформация уравнения, и изменения типа входящих в него величин с самого начала производятся совместно, на равных основа­ниях, независимо друг от друга.

Модификация типа, природы входящих в уравне­ние величин может произойти и при изменении гра­ничных условий. Тем самым перекидывается нек-рый мостик и между М. г. второго и четвертого типов.

Приступая к поискам закономерностей еще не изве­стной области явлений, физик обладает большой сво­бодой в выборе конкретного варианта М. г. Однако полного произвола и полной свободы здесь не может быть. Это — свобода в выборе путей подхода к объек­тивной истине.

Объективное содержание М. г., выражающей ис­тину, оказывается совершенно не зависящим от про­извола исследователя. Хотя физик может выбирать среди ряда вариантов построения М. г., конечный итог его работы по созданию гипотезы, общий резуль­тат не произволен, а определен объективной приро­дой исследуемого круга явлений. К этому общему итогу, выражающему истину, можно прийти путем различных конкретных вариантов М. г. Существуют регулятивные принципы, управляющие процессом создания М. г., своего рода «правила отбора» М. г., действующие в ходе разработки этих гипотез еще до того, как последние в прямой форме начинают сопоставляться с опытными данными, относящимися к новой области природы. Эти «правила отбора» — не умозрительные, априорные требования, а поло­жения, в обобщенном виде выражающие нек-рые существ, моменты подтвержденного опытом познания. В теоретич. физике широко используются след. регу­лятивные принципы, управляющие процессом раз­работки М. г.:


338 МАТЕМАТИЧЕСКАЯГИПОТЕЗА — МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ


1. Принцип соответствия. Уравнение, выражающее закон вновь открытой области явлений, строится так, чтобы в предельном случае, при к-ром была верна старая теория, новый закон асимптотически пере­ходил в прежний.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.