Философский материализм 7 страница

326 МАССА — МАССОВАЯ ПРОБЛЕМА

электрона считалась в то время неизменной. Но в экспериментах, поставленных в начале века, элект­роны вели себя так, словно их М. имеет целиком поле­вую природу. Это послужило основанием для заявле­ний о полном сведении М. электрона к электромагнит­ной М. А т. к. с понятием неизменной М. в классич. смысле связывалось представление о материи, то об­наруженные факты дали повод говорить о сведении материи к электричеству. В дальнейшем, однако, вы­яснилось, что сущность М. электрона, как и др. ча­стиц, не ист^пывается.электромагнитной природой. Это следовало уже из теории относительности. Эйн­штейн открыл общий закон изменения М. со скоростью движения, применимый для любых частиц, обладаю­щих собств. М., вне зависимости от наличия или от­сутствия у них электрич. заряда. Этот закон по мате-матич. форме совпадает с законом зависимости элект­ромагнитной М. от скорости движения. Из него сле­дует, что поскольку закон зависимости массы электро­на один и тот же как для механич., так и для электро­магнитной М., то вывод, чтоМ. электрона имеет исклю­чительно электромагнитную природу, нельзя считать достоверным. Совр. квантовая теория полей показыва­ет, что не только электромагнитное поле, но и поля дру­гой природы вносят нек-рый вклад в полную М. ча-i стицы; однако она не дает оценки относит, вклада !тех или иных полей в М. частицы. Вопрос о природе М. в этом смысле остается нерешенной проблемой. Общий закон зависимости М. от скорости движения указывает на глубокую связь М. с энергией. Извест­но, что чем больше скорость тела, тем больше кино-тич. энергия и вместе с тем, как это следует из закона зависимости М. от скорости, тем больше М. тела. В силу закона взаимосвязи М. и энергии (Е=тс^г) М. оказывается не только мерой инерции и гравитации, но может выступать и как мера энергии. Закон изме­нения М. тела со скоростью его движения и закон взаимосвязи М. и энергии внесли изменение в понятие М. и в др. отношении. Существуют частицы, имеющие М. покоя, или собств. М. При движении этих частиц с нек-рой скоростью у них возникает дополнит. М., к-рая при приближении этой скорости к скорости света неограниченно возрастает. Общая М. таких частиц складывается из этих двух родов масс. М. части­цы в системе, связанной с самой частицей, будет иметь вполне определ. фиксиров. значение. Это и будет собств. М. частицы, являющаяся ее специфич. характеристи­кой, отличающей данную частицу от других. Но т. к. частицы движутся по отношению к др. системам, то они вместе с тем обладают еще идинамич. массой. М. покоя инвариантна по отношению к пространств, перемещениям частицы как чего-то целого, в то время как динамич. масса — изменяющаяся в этом отноше­нии величина. Однако М. покоя — не абсолютно неизменная величина. Она неинвариантна по отно­шению к структурным изменениям материи. Если части­цы с определ. собств. М. входят как часть в целое структурное образование, то собств. М. этого целого не равна простой сумме собств. М. частиц, составляю­щих это целое. Ядро имеет вполне определ. по вели­чине собств. М., к-рая, однако, не равна сумме собств. М. составляющих его частей — протонов и нейтронов. Это изменение собств. М. получило название дефекта М. Таким образом, М. покоя оказывается изменяю­щейся величиной и величина этого изменения служит характеристикой структурных связей элементарных частиц, образующих более сложные устойчивые ди­скретные единицы материи — ядра, ионы, атомы, молекулы. Величина дефекта М. может быть выражена через величину энергии. Это обстоятельство служит порой поводом к тому, чтобы явление дефекта М. опи­сывать как явление превращения М. или даже мате­рии в энергию. Эти утверждения противоречат фактич.

содержанию понятий М. и энергии. Такой вывод можно было бы сделать лишь в том случае, если, во-первых, под М. понимать только М. покоя и, во-вторых, если рассматривать энергию ядерных реакций вне связи с М., как чистую энергию. Обнаружение изменчивости динамич. М. со скоростью движения, выяснение изменчивости собств. М. в связи со струк­турными изменениями материи не отменяет общего понятия М., но выявляет лишь сложный состав этого понятия. Подобно тому, как общее понятие энер­гии предполагает специфич. формы ее проявления, общее понятие М. также может проявляться в специ­фич. формах. Если при этом учитывать закон взаимо­связи М. и энергии, то неизбежен вывод, что не су­ществует чистой энергии как таковой. Энергия в лю­бой форме всегда связана с соответств. типом М. В силу этого нет логич. оснований утверждать, что М., а тем более материя, может превращаться в энер­гию. М.и энергия —два взаимосвязанных, но отдели­мых друг от друга свойства материальных объектов. В свете совр. атомистики М. уже не может рассматри­ваться как количество материи, ибо элементарные частицы не являются неизменными структурными элементами материи, как это представлялось в клас­сич. атомизме. Можно говорить лишь о различных аспектах единого понятия М.— структурном, инер­ционном, гравитационном.

М. может выступать в качестве меры инерции и гра­витации в силу того, что она подчиняется соответствую­щему закону сохранения. При этом закон сохранения М. может выполняться лишь для полной М., вклю­чающей в себя все специфич. типы М.— М. покоя, динамич. М. и М., соответствующую дефекту М. в ядерных реакциях. Дефект может реализоваться либо в форме динамич. М., либо в форме М. квантов поля, напр. М. фотонов. В силу этого можно говорить о за­коне сохранения и превращения массы. Т. к. М. высту­пает как мера фундаментальных свойств материи — инерции и гравитации, а энергия есть мера движе­ния, в законе взаимосвязи М. и энергии проявляется неразрывность материи и движения.

Лит.: Энгельс Ф., Диалектика природы, М., 1955; Ленин В. П., Материализм и эмпириокритицизм, Соч., 4 изд.,т. 14; М а х Э., Механика, [СПБ], 1909; Эйнштейн А., Зависит ли инерция тела от содержащейся в нем энергии, в кн.: Принцип относительности. Сб. работ классиков реля­тивизма, М.—Л., 1935; Ньютон И., Матем. начала нату­ральной философии, в кн.: Крылов А. Н., Собр. трудов, т. 7, М., 1936; Декарт Р., Начала философии, Избр. произв., [М.], 1950; Ломоносов М., [Письмо] Л. Эй­леру, Избр. филос. произв., [М.], 1950; Усп. физич. наук, т. 48, вып. 2, 1952; Л о р е н ц Г. А., Теория электронов, пер. с англ., 2 изд., М., 1956; Овчинников Н. Ф., Понятия массы и энергии в их история, развитии и филос. значении, М., 1957; Павлов А. И., О количественной определен­ности материи физ. объектов, в сб.: Уч. зап. Череповец, пед. ин-та, т. 2, [Вологда], 1959; Jammer M., Concepts of mass in classical and modern physics, Camb. (Mass.), 1961.

H. Овчинников. Москва.

МАССЁРА(Massera), Хосе Педро (1866—1942) — уругвайский философ, юрист, педагог и обществ, деятель. В конце 19 в. был близок к позитшизму Спенсера, однако впоследствии выступил с критикой позитивизма. М. стал сторонником идеалистич. тече­ния, рассматривающего философию как учение о ценностях (см. Аксиология), основанных на автономии человеч. воли.

С о ч.: Estudios filosoficos, Montevideo, 1954. Лит.: А г d а о A., La filosofia en el Uruguay en el siglo XX, Мех. — В. Aires, 1956.

МАССОВАЯ ПРОБЛЕМА— бесконечный класс (научных) проблем (задач), охарактеризованный (или могущий быть охарактеризованным) при помощи нек-рого единого эффективно распознаваемого усло­вия. На фигурирующее в этом пояснении понятие проб­лемы следует смотреть как на объемно-неопределенное, поскольку любая попытка предопределить, какие проблемы могут когда-либо в будущем представлять

МАССОВАЯ ПРОБЛЕМА — «МАССОВОЕ ОБЩЕСТВО» 327

интерес для к.-л. области знания, неоправдана. В ха­рактеристике понятия М. п. существенным является бесконечность класса проблем, т. к. в при­менении к конечному классу задач не имеет смысла говорить об общем способе их задания,— этот класс может быть задан простым перечислением условий отд. проблем. Не менее существенным является требование эффективной распознаваемости того, удовлетворяет ли данная единичная проблема усло­вию, характеризующему М. п., т. к. в противном случае самая постановка вопроса о «решении» М. п. становится неопределенной. Понятие эффективной распознаваемости теснейшим образом связано с уточ­няющим его понятием алгоритма. Однако понятие «алгоритм» незачем включать в характеристику по­нятия М. п., поскольку для отнесения к.-л. конкрет­ного класса задач к категории М. п. нужно не поня­тие об эффективной распознаваемости, а лишь нек-рое конкретное эффективно распознавае­мое условие. Решением М. п. естественно считать нек-рую общую схему предписаний, применяемых к каждой из входящих в М. п. единичных проблем и дающих для каждой такой проблемы ее решение (в том смысле, в каком этот термин применим к задачам данного типа). Т.о., мы приходим к понятию алгоритма, к-рое может быть, в частности, охаракте­ризовано как решение массовой проб­лемы. М. п., для к-рой существует решающий ее алгоритм, наз. разрешимой; если же доказано, что такого алгоритма не может быть, то М. п. наз. (алгоритмически) неразрешимой. Не­разрешимость М. п. предполагает невозможность никакого алгоритма-решения — сам по себе факт отсутствия такого алгоритма, без доказательства его невозможности, свидетельствует лишь о том, что данная М. п. еще не решена, также как не решена ее разрешения проблема.

Понятие М. п. имеет фундаментальное методологич. и гноссологич. значение. Для любой науки характер­но стремление перейти от описания единичных фак­тов и решения единичных задач к формулировке и решению М. п., охватывающих по возможности более широкий класс явлений описываемой в данной науке области действительности. Так, решениями определ. М. п. служат законы физики, в формулировку каждо­го из к-рых входят, кроме констант (характеризую­щих М. п. в целом), нек-рые переменные (параметры), каждому конкретному набору значений к-рых соот­ветствует решение конкретной (единичной) проблемы. Иначе говоря, М. п. может быть охарактеризована как «задача с параметром (парамет­рами)»; решение понимаемой т. о. М. п. состоит в указании нек-рого правила (формулы), содержащего эти параметры (в отд. случаях решение может и не зависеть от всех параметров, входящих в формулиров­ку самой М. и.,—это означает, что нек-рые параметры излишни, несущественны для постановки М. п., или же — в другой трактовке — что решение данной М. п. может быть отнесено к более широкой М. п.).

Наличие неразрешимых М. п. является фактом пер­востепенной важности как для содержания той науки, к к-рой относится данная М. п., так и для ее методо­логии. Установление факта неразрешимости к.-л. М. п., предотвращающее бесплодную трату сил на попытки решения неразрешимых задач, свидетель­ствует о неправомерной широте постановки той или иной М. п., но никоим образом не предрешает вопроса о разрешимости к.-л. более узкой М. п., полученной из данной путем дополнит, ограничений, суживающих первоначально исследовавшийся класс задач. В то же время решение М. п., неразрешимость к-рых не установлена, является своего рода программой-максимумом для данной области исследования.

При характеристике неразрешимых М. п. следует, кроме того, иметь в виду, что часто идет речь лишь о неразрешимости определенными сред­ствами. Так, неразрешимость М. п. решения лю­бого алгебраич. уравнения выше 4-й степени в ради­калах или неразрешимость М. п. интегрирования лю­бой элементарной функции в элементарных же фун­кциях свидетельствует по существу не о «неразре­шимости» этих М. п., а лишь о недостаточности пред­полагавшихся вначале (и, конечно, желательных ввиду их относит, простоты) средств решения. В упомяну­тых двух случаях более мощным (уже дающим воз­можность решения) средством служит, напр., аппарат теории бесконечных рядов.

Правда, в тех случаях, когда доказана алгоритмич. неразрешимость к.-л. М. п., ситуация принципиально иная, т. к. речь идет именно о несуществовании к а-ких бы то ни было средств алгоритмич. ре­шения. Но и здесь представление об «абсолютной» неразрешимости той или иной М. п. было бы неоправ­данным, поскольку оно должно было бы исходить из «абсолютной истинности» т. н. осн. гипотезы теории алгоритмов, состоящей не только в том, что неопределя­емое, интуитивное понятие алгоритма эксплицируется тем или иным точным (математич.) понятием алгоритма, но и в том, что такая экспликация может быть исчер­пывающей, охватывающей все естеств. понимания термина «алгоритм». Несмотря на ряд убедит, доводов в пользу этой гипотезы (эквивалентные формулиров­ки к-рой известны как «тезисЧёрча»,«тезисТьюринга», «принцип нормализации» Маркова и др.), следует помнить, что ее оправдание находится вне сферы мате­матич. логики и математики.

Сказанное выше о первичном, неопределяемом характере М. п. не исключает того, что для этого понятия (как и для понятия алгоритма) были предло­жены различные, оказавшиеся весьма плодотворными, уточнения. Характерно, что такого рода уточнения всегда предполагают — как и в случае понятия алгоритма — переход от общенауч. понятия М. п., каким оно выступает до уточнении, к трактовке его как понятия логико-математическо-г о. Напр., понятием М. п. по существу восполь­зовался Колмогоров в предложенной им интерпретации конструктивной (интуиционистской) логики (см. Ис­числение задач). Пригодное для этой интерпретации уточнение понятия «проблема» было дано Клини. Другим примером может служить определение, пред­ложенное сов. математиком Ю. Т. Медведевым.

Лит.: Медведев Ю. Т., Степени трудности М. п.,
«Докл. АН СССР», 1955, т. 104, К» 4; его ж е, О по­
нятии М. п., «Успехи матем. наук», 1956, т. 11, вып. 5, с. 231 —
232. См. также лит. при статьях Алгоритм, Исчисление задач,
Конструктивное направление. Ю. Гастев. Москва.

«МАССОВОЕ ОБЩЕСТВО»(англ. mass society) —по­нятие, к-рым ряд бурж. социологов и философов обо­значает специфич. черты социальных и личных отно­шений людей в бурж. обществе эпохи монополистич. капитализма. Объективной основой этой концепции является возрастание роли масс в обществ, развитии, с одной стороны, и выделение узкой господствующей верхушки монополистич. буржуазии — с другой. Кон­цепцию «М. о.» развивали в конце 19 — нач. 20 вв. Ортега-и-Гасет, Лебон, а затем экзистенциалисты, представители т. н. «неоиндивидуализма» (Э. Фромм, Д. Рисмен, неофрейдисты), сторонники возрождения свободной конкуренции («неолибералы» Ф. Хайек, Мизес и др.).

В понятие «М. о.» философы и социологи включают: разделение общества на элиту и «толпу», превращение подавляющей части общества в механич. совокупность индивидов, подчиняющихся противостоящей им систе­ме принудит, норм и правил общежития; отсутствие внутр. целостности личности, постоянно переживаю-

328 «МАССОВОЕ ОБЩЕСТВО» - МАТВЕЙ

щей конфликт между своими потребностями и тре­бованиями общества; постоянное приспособленчество к мнениям, вкусам и запросам непосредств. окруже­ния (конформизм) как гл. форму жизнедеятельности индивида. «М. о.» рассматривается как источник «социальных болезней»: преступности, неврозов, морального опустошения и разложения.

В концепциях «М. о.» различаются две линии. Пер­вая имеет своей основой реакцию бурж. идеологии на революц. выступления масс (Ортега-и-Гасет, Ле-бон и др.). В этих концепциях, нашедших отражение и в художеств, фантастике (Хаксли, Оруэлл), в ка­честве силы, противостоящей «массе» и несущей в себе истинное историч. начало, обычно выдвигалась «элита», «вожди». Нападки на революц. выступления масс и формы нар. власти под видом критики «М. о.» широко распространены и в наши дни (см., напр., W. Kornhauser, The politics of mass society, 1960). Вторая линия представляет собой критику бурж. об­щества с позиций бурж. и мелкобурж. либерализма (Фромм, Рисмен, Бенсмен, Видич и др.). В чертах «М. о.» эти социологи и философы видят естеств. следствие совр. монополистич. капитализма. В этой линии находит выражение протест против его антиде-мократич. тенденций, против отказа от «традиционных» принципов бурж. демократии, подавления личности в совр. бюрократич. орг-циях. Критики «М. о.» вы­ступают против стандартизации и унификации взгля­дов и форм поведения членов совр. бурж. общества, санкционируемых офиц. пропагандой в качество иде­ала «нормальной» личности. Они отмечают, что в усло­виях бурж. общества усиливается отчуждение лично­сти, растут элементы иррационального отношения людей к обществу, окружающим людям и собственным потребностям. Нек-рые из критиков «М. о.» используют ранние работы Маркса об отчуждении для характери­стики совр. бурж. общества и свойственных ему фе­тишистских представлений об окружающей действи­тельности.

Бурж. ограниченность концепции «М. о.» заклю­чается в том, что ее представители связывают оха­рактеризованные процессы не с развитием монополи­стич. капитализма, а в большинстве случаев с «инду­стриальным обществом вообще», как якобы специ-фич. стадией в истории общества, стирая при этом коренное различие между экономич. отношениями капиталистич. и социалистам, обществ. Эта ограни­ченность проявляется в рекомендациях по реформи­рованию «М. о.» не путем коренного преобразования системы капиталистич. отношений, а путем изменения сознания людей, самовоспитания их в духе индивидуа­лизма. В большинстве своем представители концепции «М. о.» видят спасение от него в утопич. программе возрождения свободной конкуренции, к-рая связы­вается с «расцветом индивидуальности», «социальной целостностью» и т. д. Нередко критика «М. о.» исполь­зуется как средство идеология, борьбы против социа­лизма с его плановым х-вом и коллективистским сознанием.

Лит.: Замошкин Ю. А., Бюрократизация бурж. общества и судьбы личности, «Вопр. философии», 1961, № 4; Новиков Н. В., Совр. амер. капитализм и «теория со­циального действия» Т. Парсонса, там же, 1963, № 3; Н о г-n e у К., The neurotic personality of our time, N. Y., [1937]; F г о m m E., Escape from freedom, N. Y., [1941 ]; H а у е k F. A., The counterrevolution of science, Glencoe (111.), [1952]; Riesman D. [a. o.], The lonely crowd, N. Y., [1953]; его же, Individualism reconsidered..., Glencoe (III.), [1954]; F г о га m E., The sane society, N. Y., [1955]; В 1 a u P., Bureaucracy in modern society, N. Y., [1956]; Whyte W. H., The organization man, N. Y., 1957, V i d i с h A.J. and В о n s in a n J., Small town in mass society, Princeton, (N. Jersey), 1958; Essayson individuality, ed. bv F. Morley, N. Y.,1958; La p i e r e R., The freudian ethic, N. Y.,[19591; Bell D., The end of ideology, Glencoe (111.), [I960]; W a 1 1 i с h H. C, The cost of freedom, N.Y., [I960]; An out­line of man's knowledge of the modern world, ed. by L. Bry-son, N. Y. — Toronto—L., [I960]; The psychoanalytic study

of society, ed. by W. Muensterberger and S. Axelrad, v. 1—2,
N. Y., [1960—621; G о о d m a n P., Growing up absurd, N. Y.,
[I960,]. _ H. Новиков. Москва.

МАТА-И-ФОНТАНЕТ(Mata у Fontanet), Пед-po (14 июня 1811—27 мая 1877) —исп. философ-материалист, врач, писатель-публицист и политич. деятель. Образование получил в Барселонском ун-те. Еще в юношеские годы М.-и-Ф. начал принимать участие в политич. жизни страны. За свои лит. выступ­ления, а также за непосредств. участие в революц. борьбе подвергался преследованиям. После пораже­ния революции 1833—43 активно занимался науч. деятельностью.

В «Исп. мед. философии» («Doctrina medico-filoso-fica espanola», 1850) М.-и-Ф. обобщил свою полеми­ку с идеалистами из Мед. академии наук. Его перу принадлежат также работы: «Исп. философия. Трак­тат о человеч. разуме...» («Filosofia espanola. Tratado de la razon humana...», [ч. 1—3], 1858—78), «Учебник психологии» («Compendio de psicologia», 1866) и естеств.-науч. произведения. В Испании сер. 19 в. М.-и-Ф. был одним из самых авторитетных пропа­гандистов идей материализма и защитником сен­суализма. Он отвергал идеалистическую интер­претацию духовной жизни человека и утверждал, что духовная жизнь имеет свой материальный суб­страт — мозг.

Лит.: История философии, т. 3, М., 1959, с. 557 — 558, 570; Menendez у Р е 1 а у о M., Historia de los hete-rodoxos espanoles, v. 6, Santander, [1948] (Edicidn nacional de las obras completes, v. 42); Mendez Bejarano M., Historia de la filosofia en Espaiia..., Md, [s. a.].

Д. Претелъ. Москва.

МАТВЁЕНКОВ,Иов Иванович [р.5(18) мая 1901 ] — сов. философ, д-рфилос. наук (с 1957), проф. (с 1958). Чл. КПСС с 1930. Окончил 2-й Моск. ун-т (1927) и аспирантуру Ин-та философии Коммунистич. акаде­мии (1930). Преподает философию с 1928. Зав. ка­федрой философии Сиб. отделения АН СССР (с 1958). Занимается разработкой проблемы: законы обществ, развития и их использование в практике социалистам. и коммунистич. строительства.

С о ч.: О мещанстве, «Революция и культура», 1929, J4» 5; Какую идеологию имеет рабочий, не обладающий маркси­стским образованием?, там же, 1929, № 9 —10; Об использо­вании объективных законов обществ, развития в практике строительства социализма и коммунизма, в сб.: Тр. Новоси­бирского инженерно-строит. ин-та, т. 7, Новосибирск, 1957; Историч. значение книги В. И. Ленина «Материализм и эмпи­риокритицизм», в кн.: Великое произведение марксистской философии, [Новосибирск], 1960; Некоторые вопросы теории коммунистич. воспитания, в кн.: Вопросы воспитательной работы в коллективах коммунистич. труда, Красноярск, 1961.

МАТВЕЯиз Ян о в a (Matej z Janova) (p. между 1350 и 1355 — ум. 30 нояб. 1393) — чешский ср.-век. мыслитель, идейный предшественник гусизма. Уче­ник и последователь Миличапз Кромержижа, учился (в 70-х гг.) в ун-тах в Праге и Париже. Став священ­ником, жил в уединении в Праге, окруженный неболь­шой группой студентов и реформаторски настроенных священников; много писал. Обширные труды М., имевшие хождение в рукописи, собраны под назв. «Правила Ветхого и Нового завета» («Regulae veteris et novi testamenti», 1392, изд. 1908—26). В своих про­изведениях М. дал резкую критику пороков совр. ему общества, выступил с осуждением политич. влас­ти и богатства церкви, отрицанием церк. обрядов и обычаев. Он требовал экспроприации монастырей и ликвидации монашества, выступал в защиту пресле­дуемых «еретиков» из народа. Своим толкованием Библии и отношением к церк. обрядности М. подго­товил почву для нем. Реформации (повлияв, в частно­сти, на Лютера). Его выступления в защиту простого народа способствовали развитию гуситского революц. движения: М. оказал влияние на Гуса и Якоубка из Стршибро.

Лит.: Palackf Fr., Die Vorlaufer des Hussitenthums in Bohmen, neue Ausg., Prag, 1869 (чеш. изд. 1872); К у b a 1

МАТЕМАТИКА 329

V., Mistr Matej z Janova. Jeno zivot, spisy a uceni, Praha, 1905; N о v о t n у V., Nabozanske hnuti ceske ve 14. a 15. stol., Cast 1 — Do Husa, Praha, [1915]; Machovec M., Husovo uCenla vyznam v tradici ceskebo naroda, Praha, 1953.

M. Маховец. ЧССР.

МАТЕМАТИКА (греч. (ш&7](штгат), от (ха^-^ча — зна­ние, наука) — наука о формах и отношениях, взятых в отвлечении от их содержания. Первый и ос­новной предмет М. составляют количественные и про­странственные отношения и формы. «Но, чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное; таким путем мы получаем точки, лишенные измерений, линии, лишенные тол­щины и ширины, разные а и Ь, х и у, постоянные и переменные величины...» (Э н г е лье Ф., Анти-Дюринг, 1957, с. 37). Если, напр., социолог интере­суется ростом народонаселения с течением времени, а физик изменением давления газа в связи с изме­нением температуры, то математик видит здесь толь­ко функциональную зависимость числа у от числа х. Кроме количеств, и пространств, отношений и форм, в Л1. изучаются др. отношения и формы, в частности в математической логике — формы логич. вывода, в геометрии— n-мерные пространства, которые, конечно, не являются пространств, формами в обычном смысле слова, но имеют прообразы в действительности,напр. в виде множества всех возможных состояний той или иной механич. системы (т. н. фазовое пространство системы). В общем, в предмет М. могут входить лю­бые формы и отношения действительности, к-рые объективно обладают такой степенью независимости от содержания, что могут быть от него полностью от­влечены и отражены в понятиях с такой ясностью и точностью, с сохранением такого богатства связей, чтобы дать основание для чисто логич. развития тео­рии. Кроме того, в М. рассматриваются не только формы и отношения, непосредственно абстрагирован­ные из действительности, но и логически возможные, определяемые на основе уже известных форм и от­ношений. Именно так появились «мнимые» числа, «воображаемая» геометрия Лобачевского и др.; при­чем сами термины «мнимое», «воображаемая» под­черкивают, что речь идет о мыслимых объектах, реа­льный смысл к-рых выяснился не сразу. В наст, время определение новых объектов математич. теорий стало столь обычным делом, а способы их истолкова­ния настолько развиты, что разделение их на действи­тельные и лишь логически возможные по большей части утрачивается. Тут имеется переход — через ряд абстракций и определений — от понятий, реальный смысл к-рых очевиден (напр., целое число), к таким, к-рым не удается дать наглядной интерпретации(напр., нек-рые понятия множеств теории). М. может быть определена как наука о логически возможных, чистых (т. е. отвлеченных от содержания) формах или, что то же, о системах отношений, т. к. форма есть система отношений частей целого, а отношения в М. всегда фигурируют как система отношений между к.-л. абстрактными объектами. Если две системы А_г и А₂ таковы, что объекты и отношения одной можно со­поставить с объектами и отношениями другой так, что объектам из А_1: находящимся в данном отношении, всегда отвечают объекты из А_г, находящиеся в соот-ветств. отношении, и обратно, то такое сопоставление наз. изоморфизмом, а системы — изоморфными.

То общее, что есть в изоморфных системах, и есть «чистая» форма. Соответственно М. рассматривает разные системы с точностью до изоморфизма (кро­ме, конечно, тех случаев, когда объектом изуче­ния служит само отношение изоморфизма). Безраз­личие чистых форм к содержанию означает лишь то, что они встречаются с совершенно разным содержа-

нием (как одна и та же формула может выражать законы разных по своей природе явлений). Но это вовсе не значит, что эти формы всегда имеют внеш­ний или чисто количеств, характер; напр., симметрия кристаллич. решетки (определяемая математически) является существенной качеств, ее характеристикой. Особенности М. 1. Форма, отвлеченная от содержа­ния, выступает как самостоят, объект, так что не-посредств. предметом М. оказываются: числа, а не совокупности предметов, геометрич. фигуры, а но реальные тела и т. п. В природе есть, напр., тела более или менее шарообразной формы, но шарообраз­ная форма, взятая сама по себе, превращается в иде­альный объект — геометрич. шар; в природе есть раз­нообразные связи переменных величин, чистая же форма такой связи выступает в М. как идеальный объект — функция, и т. д. Абстракции и идеализации, есть и во всякой др. науке, но там им не придается такого самодовлеющего значения, они всегда сверяют­ся-с действительностью. М. же абсолютизирует свои абстракции; ее понятия, возникнув и определившись, закрепляются и рассматриваются как данные, а срав­нение их с действительностью есть задача не самой М., а ее приложений. Поэтому в М. не заботятся, напр., о том, что не только практически невозможно абсолют­но точное измерение, но что и не существует абсолют­но точных значений реальных величин. За нек-рыми пределами уточнения количеств, изменения влекут качественные, и данная величина теряет смысл, тело оказывается состоящим из атомов, давление газа — из ударов молекул и т. д. Но такой «переход коли­чества в качество» зависит от природы величины, а раз в М. отвлекаются от этой природы, то в ней этот переход исчезает. Величина, взятая в отвлечении от со­держания, величина вообще, естественно, мыслится как абсолютно точная, как допускающая неограничен­но уточняющееся измерение. Точно так же, хотя совр. физика установила, что реальное пространство не является точно эвклидовым, никто не считает or этого эвклидову геометрию как математич. теорию неточной или нестрогой. Ее строгость и точность опре­деляются соответствием ее выводов осн. посылкам, закрепленным и выраженным в аксиомах.

2. Результаты М.— теоремы — получаются путем
логич. вывода из осн. понятий и посылок, ссылка
на опыт не считается математич. аргументом (матема­
тич. выкладки суть не более как концентрированны©
в символич. форме логич. выводы). Это, так же как
предыдущая особенность М., вовсе не означает, что
М. не заимствует свои понятия из опыта и что она не
имеет отношения к действительности. Но М. иссле­
дует формы и отношения, полностью отвлеченные от
содержания, сохраняя в них лишь то, что содержится
в их определении. Поэтому естественно, что в М. ее
результаты получаются путем логич. выводов из са­
мих этих определений, из самих понятий о соответств.
формах, так что чистая М. имеет чисто дедуктивный,
умозрнт. характер.

Поиск по сайту: