Исследованиями установлено, что наименьшей контактной прочностью на усталость обладает околополюсная зона поверхности зубьев. Поэтому расчет контактных напряжений принято выполнять для контакта в полюсе зацепления.
Рисунок к выводу формулы контактных напряжений для прямозубой цилиндрической передачи.
Контакт зубьев рассматривается как контакт двух цилиндров с радиусами ρ1 и ρ2. При этом контактные напряжения определяются по формуле Герца, которую ранее применяли для расчета фрикционной передачи.
Сделаны допущения:
· Хотя поверхность зуба не является поверхностью кругового цилиндра, но, как и там, здесь контактные напряжения распространяются на очень малый объем и практически зависят только от радиуса кривизны в точке контакта.
· Формула Герца получена в предположении, что сила, сжимающая цилиндры, направлена по нормали к площадке контакта. В зубчатом зацеплении это соблюдается не полностью, т.к. присутствуют силы трения. Обстоятельство учитывается при выборе коэффициентов запаса.
Чтобы воспользоваться формулой Герца в виде
,
необходимо определить радиусы кривизны ρ1 и ρ2эвольвент зубьев в точке контакта. Согласно рисунку (см. выше), они равны:
и .
Отсюда приведенный радиус кривизны:
где
( +) для наружного зацепления; ( _) для внутреннего зацепления.
Подставляя в формулу Герца значения ρпр, значения удельной нагрузки q, c учетом формул для сил в зацеплении и, заменяя ,
получаем:
.
Это условие прочности по контактным напряжениям. Параметр u=z2/z1– отношение большего числа зубьев к меньшему числу. Отличается от передаточного отношения i , которое равно отношению угловых скоростей ведущего колеса к ведомому.
Значения расчетных контактных напряжений одинаковы для шестерни и колеса. Поэтому расчет выполняют для того из пары колес, у которого меньше допускаемое напряжение . Формула условия прочности используется для поверочного расчета, когда известны все необходимые размеры и другие параметры передачи.
При проектном расчете необходимо определить размеры передачи по заданным основным характеристикам: крутящему моменту Т1 или Т2 и передаточному числу u. С этой целью формулу условия прочности (формула Герца-Беляева) решают относительно диаметра d1 или межосевого расстояния «a»,при этом, другие неизвестные параметры оценивают приближенно или выбирают по рекомендациям на основе опыта:
угол αw ; KHv=1,15; ;
где ψbа= – коэффициент ширины шестерни относительно межосевого расстояния. Подставляя в формулу условия прочности и решая относительно d1, находим:
(мм)
где T1 – имеет размерность Нм, Епр и [σH] – в МПа.
Решая относительно межосевого расстояния, получают выражение:
(мм)
При расчете передач с цилиндрическими зубчатыми колесами чаще используют формулу для « а », т.к. габариты передачи определяет преимущественно межосевое расстояние. По тем же соображениям в формуле для « а » момент Т1 заменен на момент Т2. Значение момента Т2 на ведомом валу является одной из основных характеристик передачи, интересующих потребителя.
Примечание: Величина контактных напряжений от модуля и числа зубьев не зависит. Зависит лишь от диаметров начальных окружностей и ширины зубчатого венца колеса «b ». Поэтому можно как угодно уменьшать модуль m (с одновременным увеличением числа зубьев), не изменяя контактных напряжений.
Уменьшение модуля целесообразно, т.к. при этом:
· Уменьшаются потери на трение.
· Уменьшается трудоемкость нарезки зубьев.
· Повышается плавность вращения.
Анализ формулы показывает, что с увеличением допускаемого контактного напряжения в 1,5 раза уменьшение «а» составит 25%, а снижение массы примерно в 2 раза.