Выясним, какая из двух основных деформаций вала - изгиб или кручение, оказывает наибольшее влияние на общую жесткость системы. С этой целью рассмотрим вал 1длиной l с насаженным на него зубчатым колесом 2
(рис. 22.14). Вал скручивается моментом T=F·rwи изгибается силой F. Считая, что момент Т передается валом от левого торца к зубчатому колесу, найдем угол поворота сечения по формуле (9.8):
где G - модуль упругости второго рода; Jp = nd4/32 — полярный момент инерции сечения; d-диаметр вала.
Прогиб вала под колесом, равный перемещению точки А при изгибе, определяется зависимостью (см. § 8.7)
где параметр к зависит от расположения колеса 2 относительно опор 3; Е-модуль упругости первого рода; J=nd2/64-осевой момент инерции сечения вала.
Из формул. (22.15) и (22.16) следует, что отношение перемещений точки А, которые вызваны деформациями кручения и изгиба,
Для стального вала отношение E/G 2,5; если колесо посажено посредине, то k = 48 и = 3...3O, так как r2l1/(2l3)~0,l - l. В других случаях параметр также существенно превышает единицу; поэтому при проектировании точных механизмов главная задача - обеспечение крутильной жесткости.
При проверочном расчете крутильной жесткости ступенчатого вала деформации отдельных ступеней складываются. Общий угол (22.17)
(22.17)
где lj—длина участка вала диаметром dj передающего крутящий момент Тj:
m - число таких участков.
Полученный угол сравнивают с допускаемым значением. Угол cps, например, определяет размер упругого мертвого хода м и ограничивается его допускаемым значением [ м].
В местах резкого изменения диаметра вала часть его материала на большем диаметре не участвует в передаче крутящего момента. Поэтому ступенчатый вал имеет меньшую жесткость, чем это следует из формулы (22.17). Чтобы рассчитать реальный угол s, в формулу (22.17) вместо /j нужно подставить эффективную длину (рис. 22.15):
где lj—длина участка вала диаметром dj передающего крутящий момент Тj:
m - число таких участков. Здесь знак плюс относится к меньшему диаметру, а знак минус - к большему; для стальных валов параметр А/ определяют по кривым рис. 22.15
Полученный угол £ сравнивают с допускаемым значением. Угол cps, например, определяет размер упругого мертвого хода м и ограничивается его допускаемым значением [ м].
В местах резкого изменения диаметра вала часть его материала на большем диаметре не участвует в передаче крутящего момента. Поэтому ступенчатый вал имеет меньшую жесткость, чем это следует из формулы (22.17). Чтобы рассчитать реальный угол s, в формулу (22.17) вместо /j нужно подставить эффективную длину (рис. 22.15):
здесь знак плюс относится к меньшему диаметру, а знак минус - к большему; для стальных валов параметр А/ определяют по кривым рис. 22.15.
Прогибы валиков и осей от действующих сил вычисляют по методике, изложенной в § 8.7. Например, для вала, изображенного на рис. 22.16, прогиб в середине пролета
Предельно допустимая деформация зависит от условий работы насаженных на вал или ось деталей (зубчатых колес, подшипников и т. д.). Хотя общеустановленных или расчетных норм допустимых деформаций нет, в машино- и приборостроении наибольшее значение прогиба часто принимают [ ] = 0,003
(l - расстояние между опорами).
Прогиб вала или оси приводит к увеличению межосевого расстояния зубчатых передач, что вызывает нарушение их нормального действия. Например, для цилиндрической зубчатой передачи прогиб вала снижает коэффициент перекрытия
где 152 - прогибы под шестерней и колесом; т — модуль передачи;
w - угол зацепления.
Рассчитав действительный прогиб одного вала по формуле (22.19а), можно из равенства (22.20) определить допускаемый прогиб для другого вала из условия ограничения параметра :
Пример 22.5.Рассчитать упругий (свободный) мертвый ход зубчатой передачи 1-2 (рис. 22.17) привода указателя 3 шкалы 4, обусловленный деформацией гладкого валика 11 диаметром d. Известны следующие параметры передаточного механизма: rw2, /, /к, угол w (см. рис. 22.17); к ведомому валику 11 приложен момент сил сопротивления Тс; колесо 2 расположено посредине между опорами.
Решение. Общий упругий мертвый ход является следствием закручивания валика моментом Тси изгиба валика - балки на двух шарнирных опорах—силами, действующими в зацеплении колес.
Упругий мертвый ход мк от закручивания валика 11 равен удвоенному углу поворота сечения под действием момента Tс, так как угол поворота валика при реверсе (изменении направления вращения) в 2 раза больше , рад [см. формулу (9.8)]:
где Ft=Tc/rw2-—окружная сила в зацеплении; G—модуль упругости при сдвиге.
Изгиб валика 11—плоский поперечный, его вызывает нормальная сила Fn; плоскость изгиба параллельна плоскости зацепления. Подставив в формулу (22.19а) ^=0,5/, F=Fn = FJcosaw,, J=nd4 /64, получим прогиб под колесом:
где Е— модуль упругости при растяжении-сжатии.
Для восстановления контакта зубьев необходимо смещение зуба вдоль линии зацепления на величину 5, т. е. поворот на угол
и (рад):
С учетом реверса мертвый ход, вызываемый изгибом валика 11, =2 и. Общий упругий мертвый ход (рад) из-за деформаций валика //: