ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ РАСЧЕТ

Расчет валов и осей. Методика проектирования валов и осей. (4-подхода)

Общие сведения

Валы и оси весьма ответственные детали механизмов, безотказ­ность действия которых определяет надежность и долговечность всей механической системы. Поэтому они должны быть достаточ­но прочными, жесткими, износостойкими и вместе с тем техноло­гичными в изготовлении. Для соблюдения этих условий необходи­мы обоснованный выбор материала и конструкций валов и осей, соответствующий расчет их на прочность и жесткость с учетом динамических нагрузок и колебаний. Последнее имеет существен­ное значение для валиков и осей с относительно малой жест­костью и вращающихся с большой угловой скоростью. Совпаде­ние частот собственных и вынужденных колебаний может вызвать резонансные явления и поломку валиков и осей.

Валы чаще проектируют по следую­щей методике. В зависимости от условий и особенностей работы механизма, характера и значений нагрузок для изготовления вала - выбирают материал с подходящими механическими свой­ствами. Затем для определения размеров вала по диаметру проводят приближенный (или предварительный) расчет, в ос­новном на кручение. После этого разрабатывают конструкцию вала с размещением на нем опор и всех вращающихся деталей и их креплений, в результате чего выявляют форму вала и необходимые размеры по длине. Последний этап - проверочный расчет на прочность и жесткость, а в отдельных случаях (быстроходные валы малой жесткости) - на колебания. Расчет осей является частным и более простым случаем, чем расчет валов, так как ось не передает крутящих моментов.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ РАСЧЕТ

Прежде чем приступить к расчету валов и осей какого-либо механизма, необходимо составить расчетную схему, дающую представление о возможных деформациях. В общем случае валы могут подвергаться сложной деформации кручения, изгиба и сжа­тия (растяжения). Силы, действующие на вал, зависят от приложенных крутящих моментов и размеров зубчатых и других передач; при расчетах валов эти силы известны. Но точки приложения сил и размеры вала по длине определяются только после конструирования вала и в целом узла, частью которого является вал. Поэтому на первой стадии проектирования невоз­можно провести полный расчет вала с учетом совместного действия всех деформаций.Однако отдельные элементы этих валов часто подвергаются только кручению. Ориентировочные радиальные размеры такого вала удобно определять по расчету на прочность или жесткость при кручении с последующим уточнением размеров после разработки конструкции вала.

Большинство соединительных муфт передают на вал только крутящий момент. Поэтому часть вала с насаженной муфтой работает лишь на кручение (например, участок l на рис. 22.1, а). Условие прочности такого участка

Рис. 21. Модели валов и опор

диаметром d_M определяется по формуле (см. формулу (9.11):

(22.1)

где т_к — напряжение при кручении, МПа; Т—крутящий момент, приложенный к валу, Н·мм; [ _к]—допускаемое напряжение при кручении, МПа, значение которого зависит от рода материала и условий работы узла (см. § 12.3; например, для стальных валов при предварительных расчетах можно принимать [ _к] = 10...30 МПа).

Из уравнения (22.1) находим диаметр вала под соединительную муфту

здесь коэффициент 1,1 учитывает ослабление вала шпоночным пазом или отверстием под штифт. Для возможности соединения валов двигателя и передаточного механизма типовой муфтой необходимо, чтобы размеры их диаметров были близки друг другу. С этой целью часто полученный расчетный диаметр вала передаточного механизма увеличивают.

Диаметры вала d_n под подшипники и d_K под зубчатое колесо (или шестерню) определяют конструктивно с учетом технологических и монтажных удобств, например, по следующим соотношениям:

или

Если вал не имеет участка под муфту (вал 11 на рис. 22.4), то ориентировочный расчет его размеров может быть сделан путем сравнения с валом 1 по условию равнопрочности на кручение:

В соответствии с законом преобразования крутящих моментов
[см. формулу (3.3)] Т₁₁=Т₁(i₁₂· ) поэтому получим

где i₁₂ и — передаточное от­ношение и кпд ступени 1-2.

Все диаметры должны быть стандартными (ГОСТ 6636— 69), что обеспечит требуемое со­единение детали и вала без под­гонки.

В точных механизмах более важным условием надежной работы валика может оказаться его достаточная крутильная жесткость, характеризуемая углом поворота сечения валика (формула (9.12) [1]:

(22.5)

из формулы (22.5) найдем необходимый диаметр валика где l - длина валика; G—модуль упругости при сдвиге, МПа; [ ]-допускаемый угол закручивания валика на единицу длины; единых норм на допускаемые углы закручивания нет, однако по опытным данным можно принимать [ ] = 0,005...0,015 рад на

1 м длины вала.

Условие достаточной жесткости особенно существенно для отсчетных механизмов, в которых угол закручивания не должен превышать допустимую погрешность прибора.

Пример 22.1.Выполнить предварительный расчет валов редуктора

(рис. 22.4) исполнительного устройства системы автоматического регулирования техноло­гического процесса. В качестве материала выбрана сталь марки 45; мощность на ведущем валу 1 P₁=125 Вт, его частота вращения n₁ = 955 об/мин; передаточные отношения i₁₂=4, i₃₄ =5,25; кпд каждой ступени с учетом потерь на трение в подшипниках = 0,95; допускаемое напряжение на кручение [т_к] = 30МПа.

Решение. Находим крутящий момент на валу 1:

Диаметры под соединительные муфты определяются по формуле (22.2):

В соответствии с ГОСТ 6636—69 принимаем стандартизованный диметр d_Ml = 6,5 мм, d_m111=18мм. Диаметры под подшипники и колеса [см. (22.3) и (22.3а)] (мм):

Размер вала 11 под зубчатые колеса находим из зависимости (22.4):

После завершения предварительного расчета приступают к конструированию узла, а затем выполняется проверочный расчет данного вала.

Задание домой № 1(С.В., прошу дополнить варианты)

Пример 22.2.Выполнить предварительный расчет валиков одноступенчатой цилиндрической отсчетной передачи. Материал валиков—сталь 40, мощность на входной шестерне 1 P₁ = 12,5 Вт, частота ее вращения п₁ = 955 об/мин, передаточное отношение i₁₂=4, кпд = 0,95.

Решение. Так как передача отсчетная, т. е. к ней предъявляются высокие требования пo точности, то предварительный расчет целесообразно выполнять по условию жесткости (22.6). Примем [ ] = 0,01 рад/м=1·10^-5 рад/мм. Модуль упругости при сдвиге для стали 40 - G ~ 0,9-10⁵ МПа (см. §9.1).

Крутящие моменты на валах шестерни 1 и колеса 2:

В соответствии с ГОСТ 6636—69 выберем стандартизованные диаметры: d_м1=2,5 мм, d_м2 = 3 мм. Остальные диаметры (мм): d_п1 = 3; d_n2 = 4; d_Kl=4; d_k2 =5.

После предварительного расчета вала приступают к его конструированию с учетом требований, предъявляемых ко всему проектируемому узлу в целом. Затем строят расчетную схему и выполняют проверочные расчеты прочности и жесткости.

Задание домой № 2. Выполнить предварительный расчет валиков одноступенчатой цилиндрической отсчетной передачи. Данные для расчета принять согласно таблицы 2, задание 2.

Задание домой № 1(С.В., прошу дополнить варианты)

ПРОВЕРОЧНЫЕ РАСЧЕТЫ

При конструировании вала или оси ряд размеров назначают из конструктивно-технологических условий. Поэтому следующий этап—проверка прочности сконструированного вала (оси).

Методика проверочного расчетапрочности включает следующие этапы: определение нагрузок; составление расчетной схемы вала, дающей представление о размещении на нем всем вращающихся деталей и опор; определение опорных реакций валов и построение эпюр изгибающих и крутящих моментов; расчет напряжений в опасном сечении и проверка прочности. Расчет оси отличается только тем, что здесь нет напряжений кручения.

Действующие нагрузки.На валы и оси действуют силы от насаженных на них звеньев передач, нагрузки на рабочих органах и неуравновешенные силы инерции. Первые силы обычно непо­движны относительно стойки механизма и вызывают в валах и осях изгибные напряжения, изменяющиеся по симметричному циклу. Неуравновешенные силы инерции вращаются вместе с ва­лом и вызывают постоянные напряжения изгиба.

Точкой предложения сил от зубчатых механизмов можно считать полюс зацепления Р. В общем случае рассматривают действие на валы окружной F_v радиальной (распорной) F_r и осевой F_x сил, которые являются составляющими полного нормального давления F_n (рис. 22.5, а; см. также рис. 14.6, 14.9, 14.12 и 16.7).

Окружная сила касательна к начальной окружности зубчатого колеса; для ведомых колес она направлена в сторону вращения колеса, для ведущих - против вращения. Линия действия радиаль­ной силы проходит через геометрическую ось вала, а направле­ние- от точки контакта зубчатых колес к оси вала.

Линия действия осевой силы параллельна оси вала. Направле­ние осевой силы зависит от направлений вращения и наклона зубьев (правое или левое), а для червяка- от направления навивки. Если наблюдатель видит с левого торца звена, что оно вращается по ходу часовой стрелки, то для ведущего косозубого колеса (винтового, червячного, червяка) с левой навивкой (левые зубья) осевая сила F_x направлена так, как показано на рис. 22.5, б. При изменении направления вращения или навивки осевая сила будет направлена в противоположную сторону.

В соответствии с третьим законом Ньютона для ведомого звена направления сил противоположны соответствующим силам на ведущем звене.

В цилиндрической прямозубой передаче осевых сил нет; полная нормальная сила действует вдоль линии зацепления NN (рис. 22.5, в). При расчете валов ременных и цепных передач принимают, что линия действия силы F_n совпадает с биссектрисой угла, образуемого ветвями гибкого звена.

Формулы для расчета действующих сил приведены в табл. 22.2, где приняты следующие обозначения: Т - крутящий момент на звене; m, z - модуль и число зубьев колеса; _w - угол зацепления; для колес, нарезанных без смещения, угол зацепления равен углу профиля зуба инструментальной рейки , обычно = 20°; т_п - модуль в нормальном сечении зубьев колеса; - угол наклона зубьев; d_cp - начальный диаметр в среднем сечении конического колеса; _1,2 - половина угла при вершине начального конуса конического колеса 1 или 2; i₁₂ - передаточное отношение; d - делительный диаметр червяка или червячного колеса; - де­лительный угол подъема линии витка червяка; к -коэффициент, учитывающий дополнительное натяжение ремня в момент поста­новки или подтягивания (k=1,5 для плоскоременных передач без натяжного ролика, k=1 для всех прочих ременных передач); F_o — предварительное (начальное) натяжение ремня.

Все нагрузки передаются на вал в виде сил, распределенных в местах сопряжения насаженной на вал детали. При построении расчетной схемы эту распределенную нагрузку заменяют сосредо­точенной силой, что идет в запас прочности.

Таблица 22.2. Формулы для расчета сил, действующих на валы

* При расчете валов на прочность не используется.

Рис. Разработка расчетной модели опоры

где верхний знак соответствует схеме на рис. 22.6, в, нижний - на рис. 22.6, г; параметры l₀ и D_m - см. на рис. 22.6, в, г.

Изгиб вала, на который насажены зубчатые колеса, шкивы и пр., в общем случае пространственный. Поэтому расчет ведется в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Силы, действующие в зацеплениях, приводят к геометрической оси вала и проецируют на расчетные плоскости. Полученные проекции представляют собой расчетные нагрузки в соответствующих плоскостях.

Изгиб будет плоским и расчет ведется в одной плоскости только для валов, на которых насажено одно прямозубое цилиндрическое колесо, шкив ременной или звездочка цепной передачи.

Проверочный расчет прочности валов в общем случае выполня­ют на статическую прочность и усталость.

Расчет на статическую прочностьпроводят по наибольшим кратковременным нагрузкам. Вал рассчитывают на совместное действие изгиба, кручения и сжатия (или растяжения); влиянием касательных напряжений от поперечных сил при расчетах валов пренебрегают. Для валов точных механизмов, несущих незначи­тельные нагрузки, можно ограничиться приближенным расчетом по эквивалентным (приведенным) напряжениям, учитывающим по энергетической теории прочности все виды деформаций.

По четвертой теории прочности (см. § 10.1) условие прочности вала в опасном сечении для общего случая деформирования имеет вид

где пр - приведенное напряжение, МПа; и - напряжение изгиба, МПа, в общем случае пространственного (см. § 10.2), вычисляемое по формуле (10.14):

где М_р - расчетный изгибающий момент, Н·мм; W- осевой момент сопротивления сечения вала, мм³; d—диаметр сечения, мм;

к- напряжение кручения, МПа, вычисляемое по формуле (9.11 (7.5):

_с- напряжение сжатия (или растяжения), МПа, вычисляемое по формуле

Т- крутящий момент, Н·мм; Wp - полярный момент сопротив­ления сечения вала, мм³;

[ _и] - допускаемое напряжение изгиба (см. § 12.3, например, для углеродистых сталей можно принять [ _и] = 40...60 МПа; для легированных сталей - 70...80 МПа, для винипласта 12...15 МПа).

где Миу и Миz—изгибающие моменты в расчетных плоскостях Оху и Oxz в рассматриваемом сечении; при плоском изгибе значение М_р равно изгибающему моменту в плоскости изгиба. Проверке подлежат те сечения, где расчетный момент М_р достигает наибольшего значения, а также места резкого уменьше­ния диаметра вала. При выборе опасных сечений учитывают, что в участке вала, охватываемом деталью, напряжения изгиба меньше расчетных, так как вал и ступица детали изгибаются вместе.

Если оказывается, что условие (22.7) статической прочности вала не выполнено, то вал конструируют заново, увеличивая поперечные размеры. При жестких требованиях к габаритам всего узла бывает необходимо сохранить исходные размеры вала, тогда применяют материал с более высокими характеристи­ками прочности.

Рассмотрим особенности составления расчетных схем и прове­рочного расчета валов основных типов передаточных механизмов.

Прямозубая цилиндрическая передача. На рис. 22.7 изображена схема

промежуточного вала двухступенчатой зубчатой передачи по рис. 22.4. Возникающие в зацеплении колес силы рассчитывают по формулам табл. 22.2. Эти силы после приведения их к оси вала составляют расчетные нагрузки: радиальные силы F_r2 и F_r3 вызывают изгиб вала в вертикальной плоскости xz, а окружные силы F_t2 и F_t3 — в горизонтальной плоскости ху. Опорные реакции вала в этих плоскостях R_Az, R_Bz и R_Ay, R_By определяют с помощью уравнений статики. Построив эпюры изгибающих моментов в вертикальной Миz и горизонтальной М_ИУ плоскостях, а также эпюру крутящего момента Г, находят положение опасного сечения (ступень вала под шестерней) и проверяют выполнение условия прочности (22.7).

Косозубая цилиндрическая передача. Отличается от прямозубой более сложной системой сил, возникающих в зацеплении колес. Воспринимаемая зубом сила F_n нормальна к его рабочей поверхности и может быть разложена на составляющие (рис. 22.8, а): окружную силу Ft радиальную Fr и осевую Fx (см. табл. 22.2). Эти силы, приведенные к оси вала, вызывают следующие деформации: изгиб в вертикальной плоскости xz силой F_r и моментом

M=F_xd_w /2; изгиб в горизонтальной плоскости ху силой Ft; сжатие (или растяжение) силой Fx; кручение на участке между муфтой и колесом моментом T. Сосредоточенный изгибающий момент М появляется на расчетной схеме при приведении силы Fx к оси вала; алгоритм приведения рассмотрен в § 10.3 (см. рис. 10.7).

Построив расчетную схему (рис. 22.8,6) и определив опорные реакции вала в вертикальной R_Az, R_Bz и в горизонтальной R_Ay, R_By плоскостях, построим эпюры моментов М_Иz и М_иу, а также сжимающей силы F_x (рис. 22.8, в). Проверяем выполнение условия прочности в первом опасном сечении - ступени вала под колесом. Другие опасные сечения—это места резкого уменьшения диаметра вала в зоне действия крутящего момента.

Коническая передача. Под действием крутящего момента Т в зацеплении конических колес (рис. 22.9, а) возникает пространственная

система сил, которая включает окружную F_u радиальную F_r и осевую F_x силы (расчетные формулы см. в табл. 22.2). В результате приведения этих сил к оси вала найдем следующие его деформации: изгиб в вертикальной плоскости xz силой F_r и моментом M=F_xd_cp/2 (см. рис. 22.9,6); изгиб в горизонтальной плоскости ху силой F_t (рис. 22.9, в); осевое сжатие вала силой F_x; кручение моментом Т. Для определения положения опасного сечения и расчета действующих в нем напряжений необходимо найти опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной

М_И2 и горизонтальной М_иу плоскостях, сжимающей силы F_x и крутящего момента Т. Опасными будут сечения вала под зубчатым колесом, где M_И2 = М_иz1 и сечение у подшипника В, где М_р = [см. формулу (22.11)].

Червячная передача. Здесь два вала — червяка 1 и червячного колеса 2 (рис. 22.10, а). Нагрузки на эти валы образуют силы в зацеплении червяка и колеса: F_t1 F_t2 — окружные, F_x1 F_x2 — осе­вые и F_rl, F_r2—радиальные.

Методика проверочного расчета валов червяка и колеса одинакова, поэтому рассмотрим расчет лишь вала червячного колеса, расчетные схемы которого приведены на рис. 22.10,6, в; силы F_t2, F_r2 и F_x2 вызывают следующие деформации: изгиб в вертикальной плоскости xz силой F_r2 и моментом M=F_x2d₂/2 и в горизонтальной плоскости ху силой F_t2; сжатие на участке между колесом и подшипником В силой F_x2; кручение на участке вала между колесом и муфтой моментом Т. Построив эпюры, определяют опасное сечение вала и действующие в нем напряже­ния, которые подставляют затем в формулу (22.7).

рис. 22.11, а; в точке В к колесу 3 приложены окружная F_t3 и радиальная F_r3 силы. Все действующие силы необходимо представить в виде составляющих, лежащих в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, например в координатных плос­костях O₂xz и О₂ху, которые параллельны соответственно векторам сил F_t2 и F_r2. В результате разложения сил F_t3 и F_r3 по­лучим силы, параллельные выбранным расчетным плоскостям:

где угол определяется при конструировании редуктора.

Расчетная схема промежуточного вала, позволяющая опреде­лить опасное сечение и действующие в нем напряжения, показана на рис. 22.11,6.

Поиск по сайту: