Предел и непрерывность отображений метрических пространств

Под отображением метрических пространств будем понимать отображение множества элементов некоторого метрического пространства в множество элементов другого (или того же) метрического пространства. Далее метрическое пространство и его множества будем обозначать одной буквой X или Y, а метрику соответственно r_X и r_Y.

Пусть f – отображение из метрического пространства X в метрическое пространство Y, т.е. f: Х Y, точка аÎY, x₀ – предельная точка D( f ) (D( f ) – область определения отображения f из пространства X в пространство Y).

Определение 1. (на языке последовательностей). Точка а называется пределом отображения f в точке х₀, если для любой последовательности (x_n), сходящейся к х_o по метрике r_х, с членами из D( f ) неравными х_о, соответствующая последовательность (f(x_n))сходится к а по метрике r_y.

Определение 2.(на языке “e-d”). Точка а называется пределом отображения f в точке х_о, если для любого положительного числа e существует положительное число d(e) такое, что для всех точек х, принадлежащих D( f ) и удовлетворяющих условию 0<r_x(x,x_o)< d, выполняется неравенство r_Y(f(x),а)<e.

Если точка а является пределом отображения f в точке х_о, то пишут

Сформулированные выше определения символично можно записать так:

Опр.1:

Опр.2:

Сформулируем определение 2 в разных метрических пространствах.

Пример 1. Пространство R¹: X = R, Y = R; f: R R.

Пример 2. Пространство R²: X = R², Y = R, f: R² R, x=(x₁,x₂), x_o=(x₁^o,x₂^o),x®x_o в R² тогда и только тогда, когда x₁®x₁^o и x₂ ®x₂^o.

Теорема 1.Определении 1 и 2 равносильные.

Доказатьельство самостоятельно(см. 1 курс).

Определение 3. Пусть f – отображение из метрического пространства X в метрическое пространство Y (f: Х Y), точка х_оÎD( f ). Отображение f называется непрерывным в точке х_о, если

Замечание 1.В этом определении не требуется, чтобы точка х_о была предельной точкой D( f ). Она может быть и изолиированной точкой D( f ).

Геометрический смысл Определения 3: отображение f: Х Y –непрерывно в точке х_о тогда и только тогда, когда для любой e–окрестности точки f(x_o) (U( f(x_o),e) ÌY), существует d–окрестность точки x_o (U(x_o, d) ÌХ), образ которого при отображении f полностью принадлежит U( f(x_o),e).

Определение 3'. Если точка х_о – предельная точка D( f ), то отображение f непрерывнае в точке х_о тогда и только тогда, когда

Если точка х_о – изолированная точка D( f ), то отображение f считаем непрерывным в точке х_о.

Определение 4. Отображение f: Х ® Y называется непрерывным на множестве МÌХ, если яно непрерывное каждой точке множества М. Если М =Х, то отображение f: Х ® Y называется непрерывным.

Теорема 2. (Критерий непрерывности отображения) Отображение f: Х®Y является непрерывным тогда и только тогда, когда при этом отображении прообраз любого открытого (замкнутого) в Y множества есть множество открытое (замкнутое) в Х. Т.е., если множества GÌY – открытое (замкнутое) множество, то множество f ^-1(G) – открытое (замкнутое) в Х.

Докажем для случая открытого множества.

Дано

Доказать: f — непрерывное отображение.

◄

►

Дано непрерывное отображение f: Х Y, и Е — произвольное открытое множество в Y.

Доказать: —открытое множество.

◄

►

Для случая замкнутого множества Е нужно рассмотреть его дополнение СЕ – открытое множество и воспользоваться уже доказанной частью.

Определение 5. Отображение f: Х Y называется равномерно непрерывнымна множестве ЕÌХ, если

Замечание 2.Если отображение f: Х Y равномерно непрерывноена множестве ЕÌХ, то оно и непрерывное на Е.

Определение 6. Метрическое пространство Х называется связанным, если его нельзя представить в виде двух непустых непересекающихся между собой открытых (в виде двух непустых непересекающихся между собой замкнутых) множеств.

Определение 7. Множество ЕÌХ называется связаннымв м.пр. Х, если связанным является подпространство Е метрического пространства Х.

Пример 3. В пространстве R связанными являются интервал, отрезок, луч, множество {3};

Пример 4. В пространстве R²связанным является любое множествоЕÌ R² , удовлетворяющее условию: любые две точки из Е можно соединить ломанной, которая полностью лежит в Е. Например, кальцо;

Пример 5. Множество Е = (0,1)È[3,4]Ì Rне является связанным множеством.

Теорема 3.Если отображение f связанного метрического пространства Х в метрическое пространство Y – непрерывное, то множество f(X)связанное в Y.

3Методом от противного. Пусть множества f(X) не является связанным в м.пр. Y. Это означает, что существуют два непустых, непересекающихся между собой открытых множества М и N таких, что f(X) = MÈN.

Па теореме 2 в силу непрерывности отображения f прообразы множеств М и N будут открытыми (f ^–1(M) , f ^–1(N)). Очевидно, что они будут также непустыми, непересекающихся между собой множествами, а их объединение есть Х. Но это значит, что пространство Х не является связанным, что противоречит условию теоремы о связанности метрического пространства Х.►

Поиск по сайту: