Свойства сходящихся последовательностей в некоторых

метрических пространствах

Теорема 1(о покоординатной сходимости последовательности в м. пр. R^m). Для того, чтобы последовательность точек метрического пространства R^m

(х_n =(х₁⁽ⁿ⁾,х₂⁽ⁿ⁾,…, х_m⁽ⁿ⁾) сходилась к точке а =(а₁,а₂,…, а_m) этого пространства необходимо и достаточно чтобы числовые последовательности (х₁⁽ⁿ⁾), (х₂⁽ⁿ⁾),…,(х_m⁽ⁿ⁾) (соответствующих координат) стремились соответственно к числам а₁,а₂,…, а_m , т.е.

, ,..., (1)

Если выполняются равенства (1), то говорят, что последовательность (х_n)сходится к точке а покоординатно.

31. Пусть в м.пр. R^m. (2)

Докажем, что выполняются равенства (1).

В силу равенства (2) (по определению предела последовательности) в м.пр. R^m будем иметь:

"e>0 $N(e)½"n>N Þ r( x_n,а)<e,

где r - метрика метрического пространства R^m :

"x,yÎR^m.

4

32. Пусть выполняются равенства (1).

Докажем, что (2) в метрическом пространствеR^m.

Пусть e - любое положительное число рассмотрим число . Тогда

Пример 1.Найти предел a = (a₁,a₂) последовательности

в пространстве R².

Таким образом, =(1/4;3).

Теорема 2(Больцана-Вейерштрасса в м.пр. R^m). Из всякой ограниченной последовательности пространства R^mможно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Частный случай этой теоремы для пространства R¹был доказан на первом курсе.

Теорема 3.Для того, чтобы последовательность (x_n) точек м.пр. С_[a,b] с чебышёвской метрикой сходилась к элементу х этого м.пр., необходимо и достаточно, чтобы функциональная последовательность (x_n)равномерно сходилась к х на [a,b].

Докажем с помощью критерия равномерной сходимости.

3Известно, что фукциональная последовательность (x_n) равномерно сходится к предельной фукции х тогда и только тогда, когда

С учётом определения метрики в м.пр. С[a,b]получаем равенство

(см. опр. 4 §7) по метрике r в м.пр. С[a,b]. 4

Пример 2.x_n(t) = tⁿ "tÎ[0;1/2]Ù"nÎN. известно, что на [0;1/2] фукциональная последовательность x_n(t) = tⁿ равномерно сходится к предельной фукции x (t) = 0. Таким образом "tÎ[0;1/2] последовательность (x_n) сходится к функции х = 0 в м.пр. С[0;1/2].

Теорема 4. Если а – предельная точка множества Е метрического пространства (X, r), то существует последовательность (x_n), члены которой принадлежат Е и не равны а, причём (x_n), сходится к а в этом метрическом пространстве.

Доказатьельство аналагично доказатьельству в пространстве R.

Замечание 1. Поскольку любая норма задает метрику,

r_о(x,y) =

то в нормированном пространстве А также можно определить предел последовательности элементов нормированного пространства.

Замечание 2. Поскольку предгильбертовое пространство является нормированным пространством с нормой , то в предгильбертовом пространстве также можно определить предел последовательности элементов предгильбертового пространства.

§9. Полные метрические пространства

Определение 1. Последовательность (x_n) метрического пространства (Х, r)называется фундаментальной, если

Примером фундаментальной последовательности является любая сходящаяся последовательность точек метрического пространства.

В пространствеRлюбая фундаментальная последовательность – сходящаяся. Но для любого м.пр. не всякая фундаментальная последовательность метрического пространства (Х, r)сходится в этом пространстве.

Пример 1. В м.пр. Х = (Q; r =½х- у½) последовательность – фундаментальная, но с 1 курса известно, что но е Ï X (е ÎI).

Определение 2. Метрическое пространство называется полным метрическим пространством, если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства сходится в нем.

Пример 2. Метрическое пространство R – полное метрическое пространство, т.к. любая фундаментальная последовательность сходится к числу, из пространства R. Это следует из критерия Коши (см. 1 курс).

Пример 3. Докажем, что пространство R^m- полное метрическое пространство.

3Пусть последовательность(x_n= x₁⁽ⁿ⁾, x₂⁽ⁿ⁾,…, x_m⁽ⁿ⁾) (1)

любая фундаментальная последовательность пространстваR^m. Покажем, что эта последовательность сходящаяся и её предел принадлежит пространству R^m.

Па определению фундаментальной последовательности и определению метрики в пространствеR^m

"e>0$ N(e)ÎN½" p,n >N Þ r(x_p,x_n)<e Þ

Согласно доказатьельству теоремы 1 §8 Таким образом, была доказана фундаментальност числовых последовательностей (x₁⁽ⁿ⁾), (x₂⁽ⁿ⁾),…, (x_m⁽ⁿ⁾), а значит и их сходимость (по критерию Коши).

Пусть

Рассмотрим точку а = (а₁, а₂, …, а_m). Т.к. а₁, а₂, …, а_mÎR, то аÎR^m. По теореме 1 §8 получаем, что в м.пр. R^m последовательность (x_n) сходится к аÎR^m . Это означает, что пространствоR^m полное метрическое пространство. 4

Пример 4.Докажем, что метрическое пространство С[a,b] является полным.

3Пусть (x_n) – любая фундаментальная последовательность в м.пр. С[a,b] , её члены – непрерывные на [a,b] фукции.

Докажем, что последовательность (x_n) сходится в метрическом пространстве С_[a,b]. Сначала покажем, что она сходится к предельной фукции х на отрезке [a,b].

По определению фундаментальной последовательности

(2)

Это означает, что "tÎ[a,b] (фиксируем t) фундаментальной является числовая последовательность (x_n (t)). Значит она имеет предел, который обозначим через для каждого фиксированного tÎ[a,b].

Покажем, что предельная фукция x(t) непрерывная на [a,b]. Для этого в неравенстве (2) §прейдём к пределу при m®¥. Получим

½ x (t)- x_n(t)½ £ e "n>N Ù "tÎ[a,b].

Таким образом, мы доказали, что

"e>0$NÎN½"m,n > N Þ½ x (t)- x_n(t)½ £ e "tÎ[a,b].

А это значит, что последовательность (x_n) равномерно сходится к фукции х на [a,b]. Т.к. все члены последовательности (x_n) непрерывные на [a,b]фукции, то предельная фукция также непрерывная на этом отрезке, т.е является элементом метрического пространства С_[a,b]. По теореме 2 §8 в этом пространстве последовательность (x_n) сходится к х. Значит пространствоС_[a,b] – полное метрическое пространство. 4

Определение 3. Полное нормированное пространство называется Банохавым пространством.

Банохавыми пространствоми, являются пространства:

R^п с нормами , ;

l₂ с нормой векторов x = (x_n) = (x₁, x₂, …)

;

C [a,b] с нормой функций x(t) .

А пространство C₁ [a,b] с нормой не является баноховым.

Определение 2.Полное предгильбертовое пространство относительно нормы (2) §3 называется гильбертовым пространством.

Примерами гильбертовых пространств являются перечисленные пространства из примеров §4. Предгильбертовое пространство из примера 3 §4 не является полным относительно нормы (2) и поэтому не является гильбертовым.

Поиск по сайту: