Классификация точек и множеств в метрических пространствах

Пусть (Х, r) – метрыческое пространство.

Определение 1. с центром в точке х_о и радиусом e называется множество всех точек хÎХ, удовлетворяющих условию r(x,х_о)< e. Это множество называется также e-окрестностью точки х_о и обозначается U(x_o, e) или U_e(x_o).

Пример 1.Открытый шар в разных пространствах:

в пространстве R¹:(x_o- e; x_o+ e) – интэрвал;

в пространстве R²: открытый круг;

в пространстве R³:открытый шар.

Определение 2 с центром в точке х_о и радиусом e называется множество всех точек хÎХ, удовлетворяющих условию r(x,х_о)£ e.

Будем говорить шар,подразумевая определение 2. Под сферой будем понимать множества точек хÎХ, удовлетворяющих условию r(x,х_о) = e.

Пример 2. Шар в разных пространствах:

в пространстве R¹:[x_o- e; x_o+ e] – отрезок;

в пространстве R²: замкнутый круг или просто круг;

в пространстве R³:замкнутый шар или просто шар.

Определение 3. Множества ЕÌХ называется ограниченным в метрическом пространстве(Х, r), если существует шар канечного радиуса, включающий это множество.

Замечание 1.Одно и тоже множество может быть ограниченным в одном метрическом пространстве и неограниченным в другом.

Пример 3.Интервал (3;5) Ì R – множество ограниченное в пространстве R; интервал (3;5) – неограниченное множество в пространстве Х =(3;5), r(x,y) = ½х-у½, которое является подпространством R.

Определение 4. Пусть ЕÌХ. Точка х₀ называется

Пример 4.Множество Е₁ = ( 0;1] Ì R Þ ¶Е1 = { 0;1};

множество Е₂ = ( 0;1] Ì Х (Х= ( 0;1], r(x,y) = ½х- у½) не имеет границы.

Замечание 2. Граничные точки множества могут как принадлежать множеству, так и не принадлежать ему.

Определение 5. Точка х₀ называется множества Е, если существуетокрестность точки х₀, которая полностью лежит в множестве Е. Множество всех внутренних точек называется внутренностью множества Е и обозначается .

Пример 5.В метрическом пространстве R рассмотрим множества

Е₁ = (2;3), Е₂ = (2;3], Е₃ = [2;3]. Для них = = = (2;3).

Пример 6. В метрическом пространстве Х (Х= ( 2,3]È {4,5}, r(x,y)=½х-у½) – подпространстве м.пр. R, = = Е₂ =(2;3].

Определение 6. Если каждая точка множества Е – внутренняя, то Е называется , т.е. для открытого множества: = Е.

В примере 5 множество Е₁ является открытым, а множества Е₂ и Е₃ не является открытыми.

В примере 6 множество Е₂ является открытым, а Е₃ не является открытыми.

Пример 7.Любой интервал (a,b)является открытым множеством в метрическом пространстве R.

Определение 7. Точка х_о называется множества Е, если в любой её окрестности находится бесконечно много точек из множества Е.

Другими словами точка х_о называется предельной точкой множества Е, если в любой её окрестности находится хотя бы однаточка множества Е, отличная от х_о.

Множество всех предельных точек множества Е называется производныммножеством множества Е и обозначается Е¢.

Замечание 3. Предельные точки могут как принадлежать множеству Е, так и не принадлежать ему.

Определение 8. Если множество ЕÌХ содержит все свои предельные точки, то оно называется замкнутым.

Пример 8.В пространстве R :Е₁ = (a,b), Е₁¢ = [a,b];

E₂ = [a,b], Е₂¢ = Е₂;

Е₃ = ( 2,4)È{6}; Е₃¢ = [2,4].

Пример 9. Пустое множества – замкнутое множество.

Определение 9. Точка х_о Î Е называется точкой множества ЕÌХ, если существует e - окрестность этой точки, в которой нет других точек из множества Е, кроме точки х_о .

Замечание 4. Каждая точка множества Е является предельной или изолированной.

Пример 10.В метрическом пространстве R каждая точка множества Е={0,1,1/2, 1/3, …}, кроме точки 0, является изолированной; точка 0 – предельная точка множества Е.

Определение 10.Точка х_о называется множества ЕÌХ, если любая её e - окрестность содержит хотя бы одну точку множества Е.

Из определений 7, 9 и 10 вытекает, что любая точка преткновения множества Е может быть

либо предельной точкой множества Е, принадлежащей множеству Е;

либо предельной точкой множества Е, не принадлежащей множеству Е;

либо изолированной точкой множества Е.

Определение 11.Множество всех точек преткновения множества Е называется множества Е и обозначается .

Замечание 5. = Е È Е¢.

Замечание 6. Множество замкнутое, если оно совпадает со своим замыканием.

Определение 12. Дополнениеммножества ЕÌХ до множества Х называется множество всех точек из множества Х, которые не принадлежат множеству Е. Обозначают это множество С_хЕ или СЕ.

§6. Теоремы об открытых и замкнутых множествах

Теорема 1.Объединение любого числа открытых множеств – множество открытое.

Пусть G_k – открытые множества.

Докажем, что – открытое множество.

3Возьмем любую точку х_о ÎG. По определению объединения множеств точка х_о будет принадлежать хотя бы одному из множеств G_k . Т.к. G_k – открытые множества, то существует e - окрестность точки х_о, которая полностью принадлежит множеству G_k :

Получили, что любая точка х_о ÎG – внутренняя, а это означает, что G – открытое множество. 4

Теорема 2.Пересечение конечного числа открытых непустых множеств – множество открытое.

Пусть G_k ( k = 1,2, …,n) – открытые множества.

Докажем, что – открытое множество.

3Возьмем любую точку х_о ÎG. По определению пересечения множеств х_о принадлежать каждому из множеств G_k. Т.к. множества G_k открытые, то в любом множестве G_k существует e_k- окрестность точки х_о: U( x_o, e _k) Ì G_k. Множество чисел{e₁, e₂,…, e_n } конечное, поэтому $ e = min {e₁,e₂,…,e_n}. Тогда e - окрестность точки х_о принадлежит каждой e_k- окрестности точки х_о:

Получили, что х_о – внутренняя точка множества G, а это значит, что G – открытое множество. 4

Замечание 1.Пересечение бесконечного числа открытых множеств может и не быть аоткрытым множеством.

Пример 1. Пусть в пространстве R где k=1,2,…,n,….

Теорема 3. Пересечение бесконечного числа замкнутных непустых множеств– замкнутое множество.

Пусть F_k – замкнутые множества.

Докажем, что множества замкнутое, т.е. оно содержит все свои предельные точки.

Теорема 4. Объединение конечного числа замкнутных непустых множеств– замкнутое множество.

Пусть множества F_k – замкнутые.

Докажем, что множество замкнутое, т.е., если х_о – предельная точка множества F, то х_оÎ F.

Замечание 2. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может быть множеством открытым.

Пример 2. В пространстве R: F_k =[2+1/k;5–1/k]

Теоремы 5 и 6, связанны с дополнением множества Е до множества Х: С_хЕ=СЕ.

Теорема 5. Если множество Е замкнутое, то его дополнение до множества Х: С_хЕ=СЕ – открытое множество.

►

◄

Пример .3. Е= [2,5], C_R E =

Теорема 6.Если множество Е открытое, то его дополнение до множества Х: С_хЕ=СЕ – замкнутое множества.

►

◄

Пример 4. Е= (2,5), C_R E =

§7. Последовательности точек метрического пространства

Определение 1.Последовательностью точек метрического пространства

(Х, r)называется отображение f множества натуральных чисел N в множество

Х: f: N X.

Значение этого отображения в точке n Î N называется n-м членом последовательности точек метрического пространства и обозначается x_n = f(n). Последовательность будем обозначать(x_n)или (х₁,х₂,…, х_n…).

Пример 1. В пространстве R² : х_n = (1¤n, n+1/n));

Пример 2. В пространстве С[a,b]: (х_n = (1/nx + n²x )) где [a,b] не содержит 0.

Определение 2.Пусть (x_n) – последовательность точек метрического пространства (Х, r), (k₁,k₂,…, k_n,…) – возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность(x_kn) называется подпоследовательностю последовательности (x_n).

Пример 3.Последовательность (1/n²) – подпоследовательность последовательности (1/n).

Определение 3.Пусть (x_n)– последовательность точек метрического пространства (Х, r), Последовательность(x_n) называется ограниченной, если существует замкнутый шар с центром а и конечным радиусом R, который содержит все члены последовательности, т.е. .

Замечание 1. Панятие монотонной последовательности можно ввести не во всех метрических пространствах.

Определение 4. Пусть (x_n)– последовательность точек метрического пространства (Х, r). Точка а Î Х называетсяпределом последовательности (x_n) если:

"e >0$N(e) Î N ½"n > N(e), n Î N Þ r(x_n,a) < e;

или, что тоже самое, числовая последовательность (r(x_n,a)) — бесконечно малая (стремится к 0), при n®¥ ,т.е.

и абазначаецца

по метрике r или , при n®¥.

Если последовательность (x_n) имеет конечный предел, то она называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Если (x_n) – последовательность точек метрического пространства (Х, r) сходится к точке аÎХ, то а – предельная точка последовательности (x_n).

Обратное не всегда имеет место.

Замечание 2. Одна и та же последовательность в разных метрических пространствах может как сходиться, так и расходиться

Пример 4.Последовательность (1/n) сходится в пространстве R, но расходится в пространстве (Х,r), где r(x,y)=½х-у½, т.к. 0 .

Для сходящихся последовательностей справедливы теоремы.

Теорема 1. Если (x_n) – сходящаяся последовательность метрического пространства (Х, r), то её предел единственный.

3Пусть

Û r(x_n,a)®0и Û r(x_n,b)® 0.

По аксиомам метрики 0 £ r(a,b) £ r( x_n,a) + r(x_n,b). Переходим к пределу, при n®¥, Получим r(a,b) = 0 Û a=b. 4

Теорема 2. Если (x_n) – последовательность точек метрического пространства (Х, r) – сходящаяся, то она ограниченная.

3Пусть .

Теорема 3.Если (x_n) – последовательность точек метрического пространства (Х, r)сходится к точке а Î Х, то любая её подпоследовательность сходится к а.

3Пусть – любая подпоследовательность последовательности(x_n). По условию . Это означает, что: "e>0 $N(e)½"n > N Þ r( x_n,а) < e.

Т.к. k_n ³ n, то для всех n>N верно k_n >N и поэтому r .

Таким образом мы доказали, что "e>0 $N(e)½"n>N Þ r , это означает, что .4

Поиск по сайту: