Будем обозначать расстояние между двумя точками М1 и М2символом . Напомним, что расстояние между двумя точками М1(х1,y1) и М2(х2,y2) плоскости вычисляется по формуле формуле
Обобщим понятие расстояния на любое множество с помощью понятия метрики. Для этого нам понадобится понятие декартового произведения двух множеств: . В частности
X ´ Х = = X2.
Пусть Х – некоторое непустое множество любой природы. Рассмотрим декартовое произведение .
Определение 1. Метрикойна множестве Х называется действительная функтия двух переменных r, заданная на Х ´ Х и "x, y, zÎX,довлетворяющаяследующим условиям (аксиомам метрики):
Значение функтии r в точке (x,y), т.е. число r(x,y) называется расстояниеммежду точками x и y.
Определение 2. Множество Х с заданной на нём метрикой r, т.е. пара(Х, r), называется метрическим пространством(м.пр.).
Элементы множества Х называются элементами или точками м.пр. (Х, r).
Пусть дано м.пр. (Х, r), и множество МÌХ, рассмотрим функтию rм(x,y)такую, что "x, y Î М значение rм(x,y) = r(x,y). Очевидно, что пара (М, rм)также является метрическим пространством.Пространство (М, rм) называется подпространством метрического пространства ( Х, r ).
Замечание.Введенное понятие расстояния между точками метрического пространства позволяет рассмотреть важные вопросы о предельном переходе, непрерывности и диффернитируемости отображений и др.
Примеры метрических пространств
Пример 1. Пусть R – множество действительных чисел. Для любых чисел x,yÎR определим функтию
r(x,y) = ½х- у½. (1)
Очевидно, что (1) удовлетворяет аксиомам 1 и 2 метрики. Покажем, что функтия r удовлетворяет аксиоме 3 "x,y,zÎR :
Пара (R, r), где r определяется равенством (1) – метрическое пространство, которое обозначают RилиR1.
Пример 2. Множество М=[a,b] с метрикой r(x,y) = ½х- у½"x,yÎ[a,b]обозначают Х = ([a,b], r). Х – подпространство метрического пространстваR , т.к. [a,b]ÌR.
Пример 3. Множество ратиональных чисел Q с метрикой, задаваемой формулай (1) для всех x, y ÎQ, является метрическим пространством. Пространство Х = (Q,r) – подпространство метрического пространства R и обозначается Q.
Пример 4.Обозначим через Rm множество упорядоченных m –к действительных чисел.Элементы множестваRm называются векторами (точками) и обозначаются одной буквой х = (х1,х2,…, хm), y =(y1,y2 ,…, ym).числа х1, х2 ,…, хm – координаты вектора х. Элементы х и в равны между собой х = у, тогда и только тогда, когда х1 = у1, х2 = у2, …, хm = уm.
На множестве Rmвведем функтию r (x,y)
"x,yÎRm.(2)
Покажем, что пространство (Rm,r) = Rm,где r определяется равенством (2), является метрическим пространством.
Легко убедится, что функтия r удовлетворяет первым двум аксиомам метрики. Для того, чтобы показать, что функтия удовлетворяет аксиоме 3, докажем 2 леммы.
Лемма 1. Для любых действительных чисел ak , bk, k=1,2,…,m, верно неравенство Коши-Буняковского:
(3)
3Рассмотрим функтию
Так как квадратный трехчлен относительно t — неотрицательный, то его дискрименант — неположительный, т.е.
4
Лемма 2. Для любых действительных чисел ak ,bk , где k = 1,2,…,m верно неравенство Миньковского:
. (4)
3
.4
Покажем, что для функтии (2) выполняется аксиома 3. Возьмем любые три точки х = (х1, х2, …, хm), y = (y1, y2 , …, ym), z = (z1, z2, …, zm). Обозначим
, Þ.(5)
Подставив в неравенство (4) обозначения из (5), получим
Þ
Þ r(x,y) £ r(x,z) + r(z,y). 4
Пример 5. Рассмотрим множество Rm,но теперь r зададим с помощью формулы
, (6)
где х = (х1,х2,…, хm), y = (y1,y2 ,…, ym) – любые точки (векторы) пространства Rm.Докажем, что функтия (6) удовлетворяет аксиомам метрики.
Функтия r удовлетворяет первым двум аксиомам метрики. Покажем, что функтия r удовлетворяет удовлетворяет аксиоме 3 для любых трех точек
х = (х1,х2,…, хm), y = (y1,y2 ,…, ym), z = (z1,z2,…, zm)пространства Rm.
3 Þ
Þ r(x,y) £ r(x,z) + r(z,y). 4
Замечание. На одном и том же множестве можно разными способами задавать метрики. В результате будем получать разные метрические пространства.
Пример 6. Рассмотрим множество С[a,b] всех действительных функций непрерывных на [a,b]. Для любых двух функций x(t) и y(t) из этого множества будем считать
(7)
Равенство (7) – чебышёвское расстояние между функтиями x(t) и у(t). Покажем, что функтия r(x,y)– метрика на множестве С[a,b].
Функтия r удовлетворяет первым двум аксиомам метрики. Покажем, что r удовлетворяет аксиоме 3.
3Пусть x, y, z Î С[a,b], где t Î[a,b]. Оценим модуль разности
Пример 7. Рассмотрим l2 – множество последовательностей действительных чисел (хÎ l2, где х: х1, х2, ..., хn…), для которых сходится ряд . Для любых двух последовательностей х = х1, х2, ... и в = у1, у2 ... из множества l2 обозначим
. (9)
Так как ряд сходится, то формула (9) задает функтию для любых х, уÎl2. Сходимость ряда легко доказатьь с помощью признака сравнения, если учесть, что ряды и сходятся, и верно неравенство .
Функтия r, заданная формулой (9), удовлетворяет аксиомам 1 и 2 (очевидно). Докажем, что она удовлетворяет и аксиоме 3.
3Для любых трёх последовательностей x, y, z множества l2 верно неравенство
Þ r(x,y) £ r(x,z) + r(z,y). 4
Пример 8. Рассмотрим множество Х произвольной природы. Зададим на нем метрику Пара (Х;ρ) – метрическое пространство.
Вывод: любое множество можно метризовать, т.е. определить расстояние между его элементами.
Линейные пространства
Понятие линейного пространства играет важную роль в современной математике. Оно является естетсвенным обобщением трехмерного евклидового пространства. В линейном пространстве определены две алгебраические оператии: сложение элементов пространства и умножение их на сколяр (число), удовлетворяющие определённым условиям.
Определение 1.Пусть К – поле действительных или комплексных чесел. Непустое множество А называется линейным (векторным) пространством над полем К,если для любых двух его элементов х и в определена их сума х+уÎА и для любого числа lÎK определено произведение l×х ÎА так, что эти оператии удовлетворяют следующим аксиомам:
1) x + y = y + x, " x,yÎ А;
2) (x + y) + z = x + (y + z), "x,y,z Î А;
3) $ qÎ А такой, что x + q= x, "xÎ А;
4) " xÎ А $ - xÎ А такой, что x + (- x) = q;
5) 1× x = x "xÎ А;
6) l(x + y) = lx + ly, "x,уÎ А, "lÎ К.
7) (l + m) х = lх + mх, "xÎ А и"l,m Î К.
8)(lm) x = l(mx), "xÎ А и"l,mÎ К.
Элементы этого пространства называют векторами. Элемент q– нулевым элементом, (-х) – элементом противоположным элементух, элемент x - y = x + (- y) – разностью элементов x и y.
Линейное пространство над полем R называется действительным линейным пространством, а линейное пространство над полем С комплексных чисел – комплексным линейным пространством.
Свойства линейных пространств подробно изучаются в курсе линейной алгебры. Рассмотрим только некоторые примеры линейных пространств, которые используются в курсе математического анализа.
Примеры линейных пространств
Пример 1.Множество действительных чесел R с определёнными на нём оператиями сложения и умножения – линейное пространство. Будем обозначать его R или R1.
Пример 2. Рассмотрим множество Rnразнообразных упорядоченных n –ок действительных чесел. Определим на Rnоператии сложения и умножения на число:
x + y = ( x1 + y1 , x2 + y2 ,…, xm + ym ); lx = (lx1 , lx2 ,…,lxm),
где x = (x1 , x2,…, xm), (y1, y2,…, ym), x и y ÎRn,lÎR.
Эти оператии удовлетворяют аксиомам (1-8) определения 1, где нулевой элемент q = (0, 0, ..., 0), а элемент противоположный элементу х это элемент
- x = (-x1 , -x2,…, - xm). Таким образом, пространство Rn–линейное пространство над полем R.
Пример 3. Множество C[a,b] действительных функций, определенных и непрерывных на отрезке [a,b] – линейное пространство над полем R. Определим операции сложения функций: (x + y)(t) = x(t) + y(t) Î C[a,b]
иумножения их на действительное число: (lx)(t) = lx(t) Î C[a,b].
Во всех примерах оператии над элементами множеств сводятся к оператиям над числами, поэтому верность аксиом 1-8 очевидна.