Методы размножения выборок (бутстреп-методы)

Метод так называемый "бутстреп", предложенный в 1977 г. Б.Эфроном из Станфордского университета (США).

Сам термин "бутстреп" - это "bootstrap" русскими буквами и буквально означает что-то вроде: "вытягивание себя (из болота) за шнурки от ботинок".

В чем основная идея группы методов "размножения выборок", наиболее известным представителем которых является бутстреп?

Пусть дана выборка . В вероятностно-статистической теории предполагаем, что это - набор независимых одинаково распределенных случайных величин. Пусть эконометрика интересует некоторая статистика Как изучить ее свойства? Идея, которую предложил в 1949 г. М. Кенуй (это и есть "метод складного ножа") состоит в том, чтобы из одной выборки сделать много, исключая по одному наблюдению (и возвращая ранее исключенные). Перечислим выборки, которые получаются из исходной:

;

…

;

…

;

Всего n новых (размноженных) выборок объемом (n-1) каждая. По каждой из них можно рассчитать значение интересующей эконометрика статистики (с уменьшенным на 1 объемом выборки):

…

…

Полученные значения статистики позволяют судить о ее распределении и о характеристиках распределения - о математическом ожидании, медиане, квантилях, разбросе, среднем квадратическом отклонении.

Сам М. Кенуй и его последователи использовали размножение выборок в основном для построения оценок с уменьшенным смещением. А вот Б. Эфрон преложил новый способ размножения выборок, существенно использующий датчики псевдослучайных чисел. А именно, он предложил строить новые выборки, моделируя выборки из эмпирического распределения . Другими словами, Б. Эфрон предложил взять конечную совокупность из n элементов исходной выборки и с помощью датчика случайных чисел сформировать из нее любое число размноженных выборок. Процедура, хотя и нереальна без ЭВМ, проста с точки зрения программирования. По сравнению с описанной выше процедурой появляются новые недостатки - неизбежные совпадения элементов размноженных выборок и зависимость от качества датчиков псевдослучайных чисел. Однако существует математическая теория, позволяющая (при некоторых предположениях и безграничном росте объема выборки) обосновать процедуры бутстрепа.

В каких случаях целесообразно применять бутстреп, а в каких - другие эконометрические методы? При росте числа испытаний методом Монте-Карло бутстреп-оценка приближается к классической оценке - среднему арифметическому результатов наблюдений. Другими словами, бутстреп-оценка отличается от классической только шумом псевдослучайных чисел.

Аналогичной является ситуация и в ряде других случаев. Там, где эконометрическая теория хорошо развита, где найдены методы анализа данных, в том или иной смысле близкие к оптимальным, бутстрепу делать нечего. А вот в новых областях со сложными алгоритмами, свойства которых недостаточно ясны, он представляет собой ценный инструмент для изучения ситуации.

Поиск по сайту: