Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Применение смешанных стратегий. Выбор оптимальной смешанной стратегии с помощью специальных расчетов и графиков.



Смешанной стратегией SA игрока А называется применение чистых стратегий A1, A2, ..., Am с вероятностями p1, p2, ..., pi, ..., pm причем сумма вероятностей равна 1: Смешанные стратегии игрока Азаписываются в виде матрицы

или в виде строки SA = (p1, p2, ..., pi, ..., pm) Аналогично смешанные стратегии игрока В обозначаются:

, или, SB = (q1, q2, ..., qi, ..., qn),

где сумма вероятностей появления стратегий равна 1:

Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать строкой, в которой 1 соответствует чистой стратегии. На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение (или решение) игры: это пара оптимальных стратегий S*A, S*B в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры v. Цена игры удовлетворяет неравенству: α ≤ v ≤ β

где α и β — нижняя и верхняя цены игры. Справедлива следующая основная теорема теории игр — теорема Неймана. Каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий. Пусть S*A = (p*1, p*2, ..., p*i, ..., p*m) и S*B = (q*1, q*2, ..., q*i, ..., q*n) — пара оптимальных стратегий.

Рассмотрение методов нахождения оптимальных сме­шанных стратегий для матричных игр начнем с простейшей игры, описываемой матрицей 2х2. Смешанные стратегии записываются так:

Значит, имеется платежная матрица

При этом

откуда получаем оптимальные значения p01 и p02:

Зная p01 и p02: находим g:

Вычислив g, находим q01 и q02:

Задача решена, так как найдены векторыт и цена игры g. Имея матрицу платежей А, можно решить задачу графически. При этом методе алгоритм решения весьма прост (рис. 2.1):

1. По оси абсцисс откладывается отрезок единичной длины.

2. По оси ординат откладываются выигрыши при стратегии А1.

3. На линии, параллельной оси ординат, в точке 1 отклады­ваются выигрыши при стратегии А2.

4. Концы отрезков обозначаются для a11b11, a12 – b21, a22b22, a21 – b12 и проводятся две прямые линии b11 b12 и b21 b22.

5. Определяется ордината точки пересечения с. Она равна g. Абсцисса точки с равна р21 = 1 – р2).

Рис. 2.1. Оптимальная смешанная стратегия

Это основано на общем свойстве игр т´п, состоящем в том, что в любой игре т´п каждый игрок имеет оптимальную сме­шанную стратегию, в которой число чистых стратегий не боль­ше, чем min(m,n). Из этого свойства можно получить известное следствие: в любой игре 2´п и т´2 каждая оптимальная страте­гия S01 и S02 содержит не более двух активных стратегий. Значит, любая игра 2´n и т´2 может быть сведена к игре 2´2. Следовательно, игры 2´т и т´2 можно решить графическим методом.


Ситуация конфликта и теория игр. Основные понятия теории игр: игра с нулевой суммой, седловая точка и цена игры.

Предметом теории игр являются такие ситуации, в которых важную роль играют конфликты и совместные действия.

Конфликт может возникнуть в результате различия целей которые отражают не только несовпадающие интересы разных сторон, но и многочисленные интересы одного и того же лица. Например, ЛПР, формирующее экономическую политику фирмы, обычно преследует разнообразные цели, выдвигая противоречивые требования, предъявляемые к ситуации (рост объемов производства, повышение доходов, снижение экологической нагрузки и т. п.). Конфликт также может быть результатом действия тех или иных «стихийных сил», то есть внешнего окружения. Поэтому математическая модель, адекватно отражающая: любое социально-экономическое явление, должна отражать присущие ему черты конфликта, то есть описывать:

- множество заинтересованных сторон; в теории игр они называются игроками;

- возможные действия каждой из сторон, которые называются стратегиями, или ходами;

- интересы сторон, представляемые функциями выигрыши платежной матрицей

В теории игр предполагается, что функции выигрыша и множество стратегий, доступных каждому из игроков, общеизвестны то есть каждый игрок знает свою функцию выигрыша и набор I имеющихся в его распоряжении стратегий, а также функции выигрыша и стратегии остальных игроков, и в соответствии с : информацией организовывает свое поведение.

Различные виды игр можно классифицировать по различным признакам. К ним относятся:

- число игроков;

- число стратегий;

- свойства функции выигрыша;

- возможность предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры.

Игра называется игрой с нулевой суммой, если одна сторона выигрывает то, что проигрывает другая, т. е. сумма выигрышей К и С равна нулю.

В результате борьбы интересов, если оба противника одинаково разумны, по-видимому, должно быть найдено некоторое равновесное положение, при котором каждый игрок получит то, что ему причитается,— не больше и не меньше. Этот равновесный средний выигрыш, на который вправе рассчитывать игрок К, если обе стороны будут вести с разумно, т. е. придерживаться своих оптимальных (наилучших) стратегий, называется ценой игры.

В матрице имеется особый элемент ; он является минимальным в своей строке и одновременно максимальным в своем столбце. Такой элемент называется седловой точкой.

 





©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.