Многокритериальные задачи выбора эффективных решений в условиях риска

Задача многокритериальной оптимизации - это задача с несколькими критериями, которые с разных сторон характеризуют различные решения. Чаще всего заранее выделено направление улучшения каждого критерия, например его увеличение. Но одновременное увеличение всех критериев практически всегда невозможно.

Допустим, имея некоторую ограниченную сумму денег, нельзя купить побольше и сахара, и муки. Более конкретно можно сказать так: имея деньги в количестве S при ценах на сахар Р_с и на муку Р_м, можно купить такое количество сахара Х_с и такое количество муки Х_м, что Р_сХ_с + Р_мХ_м ≤ S, Х_с ≥ 0, Х_м ≥ 0.

На рисунке 3.8 показана область 0АВ, любая точка которой удовлетворяет этому нестрогому неравенству. Все границы включены в область допустимых значений. По данной ситуации хотелось иметь одновременно maxX_c и maxX_м, но это невозможно. Поэтому в этой задаче, как и в других многокритериальных задачах, речь ведут не об оптимальных решениях, а об эффективных.

Рисунок 3.8 - Соотношение между объемами покупок

Вектор значений показателей X^* (X^* = (Х_с, X_м) в нашем примере) называют эффективным, если в множестве имеющихся показателей нет другого такого, который был бы не хуже X^* по всем компонентам и превосходил X^* хотя бы по одной компоненте.

Эффективные решения - это такие решения, которые не могут быть улучшены сразу по всем критериям.

Следовательно, необходимо определиться: как искать решение, как формализовать задачу, как согласовать противоречивые стремления. Возможны следующие способы действий:

1. Использование суммы критериев, в которую каждый критерий войдет с каким-то сомножителем («весом критерия»).

2. Каким-либо другим образом объединить («свернуть») исходные критерии в один. Иногда критерии предварительно упорядочивают по важности, а затем последовательно решают несколько оптимизационных задач (число задач равно числу критериев) в порядке убывания важности критериев.

Если после упорядочивания критериев по важности оказывается, что первый критерий К₁ существенно важнее всех остальных, критерий К₂ намного важнее всех критериев, кроме К₁, критерий К₃ существенно важнее всех, кроме К₁ и К₂, и т.д., то естественно считать, что i-ое решение (альтернативу) лучше j-го решения (j-ой альтернативы), когда это i-ое решение лучше j-го по критерию К₁. Если i-ое и j-ое решения эквивалентны по К₁, то предпочтение отдается лучшему по критерию К₂, и т.д. Такое упорядочение называется лексикографическим, оно возможно лишь при значительной неравноценности критериев. В таблице 3.6 дается пример такого упорядочивания пяти альтернатив А₁,..., А₅ по четырем критериям К₁, ..., К₄. В клетках - значения a_ij для i-ой альтернативы по j-му критерию.

Таблица 3.6 - Результаты многокритериального оценивания

По каждому из приведенных критериев хотим иметь максимум, К₁ - самый важный, К₄ - самый неважный.

3. Задание для каждого критерия границы, за которую не должны выходить значения критерия, и искать оптимальное решение поочередно по каждому критерию, считая, что остальные укладываются в заданные границы (то есть практически сразу вводя дополнительные ограничения, которые могут появляться из каких-то соображений или решения оптимизационных задач, внешних по отношению к данной задаче). Иногда используют парные сравнения значений критериев.

Для примера с мукой и сахаром можно было бы искать решение, задавшись дополнительным ограничением снизу на объем закупки, например, сахара:

X_c < X_c⁰.

Тогда получилась бы просто однокритериальная задача:

X_м→max;

Р_мХ_м + Р_сХ_с ≤ S;

X_c < X_c⁰;

X_м ≥ 0.

В данной простой ситуации решение находится сразу из финансового ограничения или из графика. При большом количестве переменных, критериев и ограничений задача становится намного сложнее.

4. Решают оптимизационную задачу с одним первым критерием, считая, что других критериев нет. Потом решают задачу с одним вторым критерием. И так далее. После выявления тех экстремальных уровней, которые в принципе достижимы по каждому критерию в отдельности, для каждого критерия, начиная с наиболее важного, задается порог, который не должен нарушаться. Затем считают условие нерушимости порога по первому критерию ограничением, решают задачу оптимизации для второго критерия, добавляют ограничения по порогу второго критерия, решают задачу для третьего критерия и т.д.

Пример 3.6.Предприниматель покупает в одном месте мужские свитера (в количестве не более 60 штук), в другом - женские (не более 40 штук). С помощью мягкой щетки он делает начес и продает по 2 условные единицы за мужские и по 4 условные единицы за женские. За некоторый единичный интервал времени он может начесать не более 80 свитеров. Поскольку предприниматель хочет удержаться и на рынке мужских свитеров (пусть их индекс М), и на рынке женских свитеров (пусть их индекс Ж), постольку он интересуется не максимумом дохода или прибыли, а оценками сразу по нескольким критериям. Пусть закупочные цены в условных единицах таковы: мужские свитера по 1 ед/шт., женские по 2 ед/шт. Оптимизационная задача предпринимателя выглядит так (X_м, X_ж - объемы закупок):

К₁ = 2X_м→max;

К₂ = 4X_ж→max;

К₃ = 1X_м + 2X_ж→min;

0 ≤ X_м ≤ 60;

0 ≤ X_ж ≤ 40;

X_м + X_ж ≤ 80.

На рисунке 3.9 показана допустимая область 0ABCD, направления благоприятных изменений критериев К₁, К₂, К₃. Отдельно по каждому из критериев решения находятся сразу (по К₁: X_м = 60, К₁ = 120; по К₂: X_ж = 40, К₂ = 160; по К₃: X_м = X_ж = 0, К₃ = 0). Зная значения критериев для однокритериальных задач, ситуацию на рынках и свои финансовые возможности, этот предприниматель выбирает такие пороги: П₁ = 100 (он хочет иметь К₁ ≥ П₁ = 100), П₂ = 112 (хочет иметь К₂ ≥ П₂ = 112) и П₃ = 120 (К₃ ≤ П₃ = 120).

Рисунок 3.9 – Иллюстрация к примеру задачи с тремя критериями

Сначала он решает такую задачу:

X_м ≤ 60;

X_ж ≤ 40;

X_м + X_ж ≤ 80;

2X_м ≥ 100

(что дает X_м ≤ 50, X_ж ≤ 30) с целевой функцией К₂ = 4X_ж→max. Решением будет X_ж = 30, К₂ = 120 ≥ 112. Затем решается задача:

X_м ≤ 60;

X_ж ≤ 40;

X_м + X_ж ≤ 80.

2X_м ≥ 100;

4X_ж ≥ 112

(что дает X_м ≥ 50, X_ж ≥ 28) с целевой функцией К₃ = X_м + 2X_ж→min. Решением будет X_м = 50, X_ж = 28 с К₃ + 106 ≤ 120 = П₃, чем и завершится данная задача. Если бы было П₃ = 95, то решения в данной задаче не существовало.

Важно, что каждый из способов работы со многими критериями возможен только при определенных условиях, в каких-то рамках. При решении многокритериальных задач появляются специфические проблемы, которых нет в однокритериальных задачах, и эти проблемы зачастую не удается до конца разрешить. Поэтому работа с многокритериальными задачами всегда трудна и требует высокой квалификации исследователя.

Поиск по сайту: