· Знакомство с интерфейсом системы MATLAB. Операции с матрицами и векторами.
· Освоение операций с матрицами, векторами и математическими функциями.
· Освоение методов решения алгебраических и дифференциальных уравнений.
· Освоение методов аппроксимации и интерполяции функций.
Задание для домашней подготовки:
1. Ознакомьтесь с возможностями и описанием интерфейса системы MATLAB [3].
2. Ознакомьтесь с основными функциями системы MATLAB, которые используются для анализа числовых массивов данных [3].
3. Ознакомьтесь с возможностями построения графиков с системе MATLAB [3].
4. Ознакомьтесь с заданием и порядком выполнения лабораторной работы.
Порядок выполнения лабораторной работы:
После включения компьютера подготовьте шаблон отчёта в редакторе MS Word.
Система MATLAB специально создана для проведения инженерных расчетов и научных исследований. Система поддерживает выполнение операций с векторами, матрицами и массивами данных, работу с алгебраическими полиномами, решение нелинейных уравнений, интегрирование функций в квадратурах, численное интегрирование дифференциальных и разностных уравнений, построение различных графиков.
Задание 1. Знакомство с интерфейсом системы MATLAB. Операции с матрицами и векторами
1.1. После вызова программы MATLAB на экране монитора появляется окно MATLAB, в котором может отображаться несколько окон. Главным из них является командное окно «Command Window», в котором набираются с клавиатуры команды и отображаются результаты их выполнения. Признаком готовности системы к восприятию и выполнению команды является наличие в последней строке командного окна знака приглашения », справа от которого расположен мигающий курсор. Для создания М-файлов, содержащих команды, используется встроенный редактор, который вызывается через меню «File» или кнопкой «New Script» на панели инструментов окна MATLAB. Ознакомьтесь с элементами и командами окна MATLAB.
1.2. Введите с клавиатуры в командное окно матрицы А, В и вектор
.
1.3. Вычислите следующие выражения
..
1.4. Найдите максимальный и минимальный элементы матрицы , используя функции системы MATLAB max и min.
1.5. Введите с клавиатуры следующие полиномы в виде вектор-строк коэффициентов полиномов
1.5.1 Вычислите сумму полиномов и произведение полиномов , используя функцию , синтаксис которой , где и - векторы коэффициентов полиномов.
1.5.2. Вычислите корни полинома , используя функцию , где – вектор-строка коэффициентов полинома .
1.5.3. Вычислите производные полинома и произведения полиномов , используя функцию для полинома , и функцию для произведения полиномов.
1.5.4. Вычислите характеристический полином матрицы А (см. пункт 1.1), используя функцию .
1.6. Перенесите выполненные в задании команды в М-файл, а результаты вычислений перенесите в отчет по лабораторной работе.
Задание 2. Операции с математическими функциями
2.1. Вычислите значения следующей функции при изменении аргумента с шагом 0,1 в диапазоне
.
Для вычисления функции создайте М-файл с именем «fx» следующего вида
2.2. Постройте график функции (см. пункт 2.1), используя функции системы MATLAB plotдля построения графика и grid для нанесения координатной сетки.
2.3. Вычислите интеграл , где определена в пункте 2.1, используя алгоритм численного интегрирования по методу трапеций, реализованного в системе MATLAB функцией trapz.
2.4. Вычислите интеграл , где определена в пункте 2.1, методом квадратур, используястандартную функцию системы quad.
2.5. Перенесите выполненные в задании команды в М-файл, а результаты вычислений перенесите в отчет по лабораторной работе.
Задание 3. Решение алгебраических уравнений
3.1. Найдите решение уравнения , где параметр а — номер варианта, задаваемого преподавателем. Для решения уравнения сформируйте М-файл с именем « » для вычисления функции , задайте начальное значение неизвестной величины и воспользуйтесь функцией fzero системы MATLAB.
3.2. Найдите решение следующей системы линейных уравнений, используя решение уравнений вида с помощью операции .
3.3. Найдите решение системы линейных уравнений, заданных в пункте 3.2, используя правило Крамера. Полученный результат сравните с результатом, полученным в пункте 3.2.
3.4. Перенесите выполненные в задании команды в М-файл, а результаты вычислений перенесите в отчет по лабораторной работе.
Задание 4. Решение дифференциальных уравнений
4.1. Решите дифференциальное уравнение второго порядка
где параметр а – номер варианта, задаваемого преподавателем. Для решения используйте метод численного интегрирования Рунге-Кутта третьего порядка, реализованного в системе MATLAB функцией ode23, синтаксис которой имеет вид
,
где <name> – строковая переменная, являющаяся именем М-файла, в котором вычисляется правая часть системы дифференциальных уравнений; – начальные и конечные значения времени интегрирования; – вектор начальных условий; – двумерный массив, где каждый столбец соответствует одной переменной.
Для получения результата выполните следующие действия.
4.1.1. Представьте заданное уравнение в виде системы уравнений в явной форме Коши
4.1.2. Создайте М-файл, который представляет собой функцию пользователя для вычисления правых частей уравнения, с именем «prf»:
4.1.3. Задайте следующие значения и начальные условия .
4.1.4. Решите уравнение с помощью функции системы MATLAB ode23
4.1.5. Постройте график получившегося решения, используя функции plotи grid, обозначьте на графике оси и кривые.
4.2. Перенесите выполненные в задании команды в М-файл, а результаты вычислений перенесите в отчет по лабораторной работе.
Задание 5. Аппроксимация и интерполяция функций
5.1. Аппроксимируйте функцию полиномом 6 степени на интервале времени с шагом дискретизации 0,1 с, используя функцию системы MATLAB polyfit, синтаксис которой , где – вектор коэффициентов аппроксимирующего полинома степени n.
5.2. Вычислите значения полинома в заданном интервале переменной , используя функцию системы MATLAB polyval, синтаксис которой .
5.3. Постройте графики исходной и аппроксимирующей функций в одних осях, используя функции plotи grid, обозначьте на графике оси и кривые. Определите отрезок времени, где аппроксимация расходится.
5.4. Соедините гладкой кривой 6 точек на плоскости , используя интерполяцию функции кубическим сплайном при помощи системной функции spline, синтаксис которой имеет вид , где – векторы заданных координат точек, – вектор точек интерполяции внутри области определения функции. Векторы координат точек:
, где параметр а – номер варианта, задаваемого преподавателем, .
5.5. Постройте на одном рисунке график заданной дискретной функции в виде отдельных вертикальных линий, используя функции stem и hold on, и график интерполирующей непрерывной функции, используя функции plotи grid.
5.6. Перенесите выполненные в задании команды в М-файл, а результаты вычислений перенесите в отчет по лабораторной работе.
5.7. Выйдете из системы, закрыв её главное окно. Оформите отчет, сделайте общий вывод по лабораторной работе.
Контрольные вопросы
1. Какие окна могут располагаться в окне MATLAB?
2. Какие операции системы MATLAB используются при работе с матрицами и векторами?
3. Как создать новый М-файл, реализующий математическую функцию пользователя?
4. Какие методы численного интегрирования реализованы в системе MATLAB?
5. Какие методы аппроксимации и интерполяции реализованы в системе MATLAB?