Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение (иногда назывется и стандартным отклонение) часто обозначают греческой буква сигма (δ), и название этой буквы перешло и на сам показатель, так что среднее квадратическое отклонение зачастую называют просто «сигма».

Сигма вычисляется по следующей формуле:

δ = . (2)

По формуле (2) для вычисления среднего квадратического отклонения необходимо последовательно выполнить следующие вычисления:

1. Найти среднюю арифметическую по уже известной нам формуле (1).

2. Вычислить отклонение каждой варианты от средней арифметической и затем последовательно возвести все вычисленные отклонения в квадрат - .

3. Просуммировать все квадраты отклонений каждой варианты от средней арифметической - .

4. Разделить полученную сумму на число вариант без одной - .

5. Извлечь из полученного результата квадратный корень.

Описанный алгоритм вычислений несложен, но практика его применения нуждается в некоторых пояснениях:

· прежде всего необходимо уточнить, почему для характеристики вариативности выборки берутся квадраты отклонений, а не просто отклонения. Дело в том, что положительные и отрицательные значения отклонений взаимно компенсируются и их алгебраическая сумма будет равна нулю. Избежать влияния знаков можно путем возведения отклонений в квадрат. Тогда все величины будут иметь положительное значение и их сумма не будет равна нулю.

· среднее квадратическое отклонение величина именованная и имеет ту же размерность, что и изучаемый признак. Следовательно, если величина средней арифметической выражается в метрах, то и сигма будет выражаться в метрах.

· среднее квадратическое отклонение применяется для характеристики распределений вариант. При распределении близком к нормальному в интервале располагается, как правило, 50% возможных значений признака, в интервале располагается 68,3% вариант, а в интервале - 95,5% и в интервале - 99,7% вариант. Более наглядно эти данные можно представить в табличном виде (табл. 4).

Таблица 4.

Отклонение в d
Число вариант в %	50%	66,3%	95,5%	99,7%

Таким образом, максимальное и минимальное значения признака практически не удаляются от среднего значения больше, чем на 3d. Эти свойства сигмы (табл. 4) позволяют использовать её для многих целей статистической обработки экспериментальных данных.

Практическое вычисление среднего квадратического отклонения для двух групп испытуемых, проверявшихся в метании гранаты Ф-1 на дальность, показано в таблице 5.

Таблица 5.

	Первая	группа			Вторая	группа
	+10		N=10		+10		N=10
	+ 3				+ 9
	+ 1				+ 6
					+ 4
			Lim=30 50		+ 1		Lim=30 50
					- 1
			d = =		- 4		d = =
	- 2		= =		- 6		= =
	- 2		= 4,92 м		- 9		= 7,21 м
	-10				-10
Sxi = 400	S(xi –x)= 0	S(xi –x)2=218		Sxi = 400	S(xi –x)= 0	S(xi –x)2= 468

Из этого примера видно, что одни только средние и лимиты не дают полной характеристики показанных результатов. Среднее квадратическое отклонение полнее отражает величину разнообразия значений изучаемого признака: чем меньше сигма, тем более однороден изучаемый материал.

Поиск по сайту: