Методы классификации образов с помощью функций расстояния

Классификация образов сравнением с эталоном

Под классификацией понимается отнесение образов к тому или иному классу. При классификации используются те или иные меры близости или сходства.

В дальнейшем в качестве меры сходства используется расстояние от образа до эталона класса. В алгоритмах классификации применяется критерий минимума расстояния. Этот критерий применим как в случае единственного эталона класса, так и в случае множества эталонов.

Эталоном класса называется наиболее типичный представитель образов класса. Эталоном может быть образ из выборки, представляющей данный класс, а может быть не существующий, а определенный по каким-либо правилам идеализированный образ.

Классификация для единственного эталона

Рассмотрим задачу определения алгоритма классификации образов для классов, представленных единственными эталонами. Целью будет служить получение решающей функции как можно более простой и эффективной.

Пусть имеется классов с единственными эталонами

Если имеется образ Х, который необходимо классифицировать, то евклидово расстояние (между образом и эталоном) выражается формулой

Использовать расстояние как основу для построения решающей функции несколько затруднительно в силу ее нелинейности. Сформируем линейную функцию несколько преобразовав формулу расстояния. С учетом того, что расстояние – величина положительная, вместо него можно использовать его квадрат т.е. :

В результате выполнения несложных преобразований с учетом того, что

не зависит от , т.е. это слагаемое можно опустить, получим:

.

Обозначим полученное выражение d(Х)

d(Х) = X^T´Zi – 0.5´Z_i^T´Z_i

Так как ищется минимум расстояния, то, как следует из формулы, для функции d(Х) необходимо искать максимум.

Полученная формула d(Х) - это линейная функция и может быть представлена в виде:

Образ Х будет отнесён к классу , если

где

.

В итоге уравнение решающей функции может быть записано в виде

.

Задача классификации на множестве эталонов.

Пусть теперь каждый класс представлен множеством эталонов

тогда функцию, определяющую расстояние между образом и эталоном класса, можно определить в виде:

.

Если использовать формулу для d(Х ), то решающая функция будет иметь вид

.

Поиск по сайту: