Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Приближенное решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.



Для многих типов дифференциальных уравнений не может быть найдено точное аналитическое решение. В этом случае дифференциальное уравнение можно решить с помощью приближенных методов, и, в частности, с помощью разложения в степенной ряд неизвестной функции.

Чтобы найти приближенное решение дифференциального уравнения в виде степенного ряда, в команде dsolveследует после переменных указать параметр type=series (или просто series). Для того, чтобы указать порядок разложения n, т.е. порядок степени, до которой производить разложение, следует перед командой dsolve вставить определение порядка с помощью команды Order:=n.

Если ищется общее решение дифференциального уравнения в виде разложения в степенной ряд, то коэффициенты при степенях х найденного разложения будут содержать неизвестные значения функции в нуле y(0)и ее производных D(y)(0), (D@@2)(y)(0)и т.д. Полученное в строке вывода выражение будет иметь вид, похожий на разложение искомого решения в ряд Маклорена, но с другими коэффициентами при степенях х. Для выделения частного решения следует задать начальные условия y(0)=у1, D(y)(0)=у2, (D@@2)(y)(0)=у3и т.д., причем количество этих начальных условий должно совпадать с порядком соответствующего дифференциального уравнения.

Разложение в степенной ряд имеет тип series, поэтому для дальнейшей работы с этим рядом его следует преобразовать в полином с помощью команды convert(%,polynom), а затем выделить правую часть полученного выражения командой rhs(%).

 

Задание 2.5.

1. Найти решение задачи Коши: , в виде степенного ряда с точностью до 5-го порядка.

>restart; Order:=5:

> dsolve({diff(y(x),x)=y(x)+x*exp(y(x)),

y(0)=0}, y(x), type=series);

В полученном решении слагаемое означает, что точность разложения была до 5-го порядка.

2. Найти общее решение дифференциального уравнения y''(х)-y3(х)=еcosx, в виде разложения в степенной ряд до 4-го порядка. Найти разложение при начальных условиях: y(0)=1, y'(0)=0.

>restart; Order:=4: de:=diff(y(x),x$2)-

y(x)^3=exp(-x)*cos(x):

>f:=dsolve(de,y(x),series);

Замечание: в полученном разложении запись D(y)(0) обозначает производную в нуле: y'(0). Для нахождения частого решения осталось задать начальные условия:

>y(0):=1: D(y)(0):=0:f;

3. Найти приближенное решение в виде степенного ряда до 6-го порядка и точное решение задачи Коши: , , , . Построить на одном рисунке графики точного и приближенного решений.

> restart; Order:=6:

> de:=diff(y(x),x$3)-diff(y(x),x)=

3*(2-x^2)*sin(x);

de:=

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1;

cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, D(2)(y)(0)=1

> dsolve({de,cond},y(x));

y(x)=

> y1:=rhs(%):

> dsolve({de,cond},y(x), series);

y(x)=

Замечание: тип решения дифференциального уравнения в виде ряда есть series, поэтому для дальнейшего использования такого решения (вычислений или построения графика) его обязательно следует конвертировать в полином с помощью команды convert

> convert(%,polynom): y2:=rhs(%):

> p1:=plot(y1,x=-3..3,thickness=2,color=black):

> p2:=plot(y2,x=-3..3, linestyle=3,thickness=2,

color=blue):

> with(plots): display(p1,p2);

На этом рисунке видно, что наилучшее приближение точного решения степенным рядом достигается примерно на интервале -1<x<1.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.