Создание собственных процедур. Разложение функции в ряд Фурье.

VI. Дифференциальные уравнения. Ряды.

1. Ряды и произведения.

2. Аналитическое решение дифференциальных уравнений.

3. Численное решение дифференциальных уравнений.

§1. Ряды и произведения

Вычисление суммы ряда и произведений.

Конечные и бесконечные суммы вычисляются командой прямого исполнения sum и отложенного исполнения Sum. Аргументы этих команд одинаковые: sum(expr, n=a..b), где expr – выражение, зависящее от индекса суммирования, a..b – пределы индекса суммирования, указывающие, что суммировать следует от n=a до n=b.

Если требуется вычислить сумму бесконечного ряда, то в качестве верхнего предела вводится infinity.

Аналогичным образом вычисляются произведения командами прямого product(P(n),n=a..b) и отложенного действий Product P(n),n=a..b).

Задание 1.1.

1. Найти полную и N-частичную суммы ряда, общий член которого равен: a_n= .

> restart: a[n]:=1/((3*n-2)*(3*n+1));

a_n:=

> S[N]:=Sum(a[n], n=1..N)=sum(a[n], n=1..N);

> S:=limit(rhs(S[N]), N=+infinity);

2. К какой функции сходится степенной ряд: ?

> Sum((-1)^(n+1)*n^2*x^n, n=1..infinity)=

sum((-1)^(n+1)*n^2*x^n, n=1..infinity);

.

3. Найти сумму степенного ряда .

> Sum((1+x)^n/((n+1)*n!), n=0..infinity)=

sum((1+x)^n/((n+1)*n!), n=0..infinity);

4. Вычислить бесконечное произведение:

> Product(2/n,n=1..infinity)=

product(2/n, n=1..infinity);

5.Вычислить произведение:

> Product( k^2, k=1..4 )= product( k^2, k=1..4 );

Разложение функции в степенной ряд и ряд Тейлора.

Разложение функции f(x) в степенной ряд в окрестности точки а

осуществляется командой series(f(x), x=a, n), где а – точка, в окрестности которой производится разложение, n – число членов ряда.

Аналогичного действия команда taylor(f(x), x=a, n) раскладывает функции f(x) в окрестности точки x=a до порядка n-1 по формуле Тейлора.

Команды series и taylor выдают результат, имеющий тип series. Для того, чтобы иметь возможность дальнейшей работы с полученным разложением, его следует преобразовать в полином с помощью команды convert(%,polynom).

Функцию многих переменных f(x₁,…,x_n) можно разложить в ряд Тейлора по набору переменных (x₁,…,x_n) в окрестности точки (a₁,…,a_n) до порядка n с помощью команды mtaylor(f(x), [x1,…,xn], n). Эта команда находится в стандартной библиотеке, поэтому перед использованием должна быть вызвана readlib(mtaylor).

Задание 1.2.

1. Разложить в степенной ряд в окрестности х₀=0, удерживая 5 первых членов.

> f(x)=series(exp(-x)*sqrt(x+1), x=0, 5);

2. Построить на одном рисунке графики интеграла ошибок и его разложения в ряд Тейлора в окрестности нуля.

>taylor(erf(x),x,8): p:=convert(%,polynom);

>plot({erf(x),p},x=-2..2,thickness=[2,2],

linestyle=[1,3], color=[red,green]);

Пунктирной линей изображен график ряда Тейлора, а сплошной – самой функции.

3.Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0) до 6-ого порядка.

>readlib(mtaylor):

> f=mtaylor(sin(x^2+y^2), [x=0,y=0], 7);

Создание собственных процедур. Разложение функции в ряд Фурье.

В Maple имеется возможность создавать собственные процедуры. Процедура начинается с заголовка. Заголовок состоит из имени процедуры (его пользователь определяет сам), далее следует обязательный оператор присваивания := и служебное слово proc, после которого в круглых скобках через запятую указываются формальные параметры процедуры.

Во избежании неполадок работы процедуры, рекомендуется в строке заголовка процедуры описывать переменные, которые будут использоваться только внутри тела процедуры (они называются локальными переменными). Для этого используется служебное слово local, после которого через запятую перечисляются локальные переменные.

После заголовка следует основное тело процедуры, состоящее из составленных пользователем команд, причем последняя команда будет выводить окончательный результат выполнения процедуры. Процедура должна обязательно оканчиваться служебным словом end.

Общий вид процедуры (стандартный синтаксис):

>name:=proc(var1, var2, …) local vloc1, vloc2,…;

>expr1;

>expr2;

……………

>exprn;

>end;

В Maple нет команды, позволяющей производить разложение функции в тригонометрический ряд Фурье. Однако можно создать собственную процедуру разложения ряд Фурье. Пусть требуется разложить на интервале [x₁, x₂] 2l-периодическую функцию f(x). Тогда ряд Фурье имеет вид:

,

где l=(x₂-x₁)/2;

; ; .

Получить первые n членов ряда Фурье можно с помощью следующей процедуры:

>fourierseries:=proc(f,x,x1,x2,n) local k, l,

a, b, s;

>l:=(x2-x1)/2;

>a[0]:=int(f,x=x1..x2)/l;

>a[k]:=int(f*cos(k*Pi*x/l),x=x1..x2)/l;

>b[k]:=int(f*sin(k*Pi*x/l),x=x1..x2)/l;

>s:=a[0]/2+sum(a[k]*cos(k*Pi*x/l)+

b[k]*sin(k*Pi*x/l), k=1..n);

>end;

Порядок обращения к этой процедуре такой: fourierseries(f,x,x1,x2,n), где f – имя функции, разложение которой требуется найти, где х – имя независимой переменной, где х1, x2 – интервал разложения, где n– число членов ряда.

Задание 1.3.

1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x/2 с периодом 2p на интервале [0; 2p], удерживая 6 членов ряда. Построить на одном рисунке графики функции и ее n-частичной суммы ряда Фурье.

Сначала полностью наберите процедуру fourierseries, предложенную выше в теоретической части.

>f:=x/2:x1:=0:x2:=2*Pi:

>fr:=fourierseries(f,x,x1,x2,6);

>plot({fr,f}, x=x1..x2, color=[blue,black],

thickness=2, linestyle=[3,1]);

Пунктирной линией изображен график n-частичной суммы ряда Фурье, а сплошной – самой функции. По виду n-частичной суммы ряда Фурье в данном примере легко установить общий вид этого ряда:

.

2. Разложить несколько раз в ряд Фурье функцию с периодом 2p на интервале [p;-p], удерживая 2, 4 и 8 членов ряда. Построить на одном рисунке графики функции и ее n-частичных сумм ряда Фурье.

>f:=exp(-x);x1:=-Pi;x2:=Pi:

>fr1:=fourierseries(f,x,x1,x2,2):

>fr2:=fourierseries(f,x,x1,x2,4):

>fr3:=fourierseries(f,x,x1,x2,8):

>plot({f,fr1,fr2,fr3},x=x1..x2,color=[black, blue, green, red], thickness=2, linestyle= [1,3,2,2]);

Сплошной линией изображен график функции, пунктирными – графики n-частичных сумм ряда Фурье. Видно, что чем больше слагаемых ряда удерживать, тем ближе расположен график суммы ряда к графику самой функции.

§2. Аналитическое решение дифференциальных уравнений

Поиск по сайту: